leetcode第一刷_Unique Binary Search Trees

這道題其實跟二叉搜尋樹沒有什麼關係，給定n個節點，讓你求有多少棵二叉樹也是完全一樣的做法。思想是什麼呢，給定一個節點數x，求f(x)，f(x)跟什麼有關係呢，當然是跟他的左右子樹都有關係，所以可以利用其左右子樹的結論，大問題被成功轉化成了小問題。最熟悉的方法是遞迴和dp，這裡顯然有大量的重複計算，用dp打表好一些。

後來實驗的同學說，這其實是一個Catalan數，上網查了一下，果然啊。Catalan數是這樣子的：

h(0) = 1, h(1) = 1;

遞推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

解為：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

其中數列的前幾項是：1,2,5,14,42，很多公司的筆試題都會問這個，一般是到5。知道了通項公式，直接秒殺。

Catalan數的應用當然不止求樹的個數，還有很多。演算法考試中最難的一個題，問在多邊形中放入不相交的對角線，一共有多少種不同的分法，請根據矩陣相乘的方法來想。矩陣相乘在課堂上講過，是在一連串的矩陣乘法中添加括弧，使實際的乘法數最少。原來都可以用Catalan數來解。

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        vector<int> res(n+1, 0);        res[0] = 1;       for(int i=1;i<=n;i++){            for(int j=0;j<i;j++){                res[i] += res[j]*res[i-j-1];            }        }        return res[n];    }};