《Linear Algebra and Its Application》-線性方程組的解

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線性方程組的解：

  通過先前文章對矩陣方程、線性方程組和向量方程這三種方程的通解性的介紹，現在我們就可以比較簡便的表達一個線性方程組了。即有如下形式：

  Ax = b。其中A是m x n的矩陣，對應線性方程組的係數矩陣，而x是R^n的一個向量，記錄了n個未知量，b則是線性方程組等式右邊的嘗試，在這裡本質上也是R^n的一個向量，那麼基於這種表達形式，我們開始對線性方程組的解的結構進行討論(類似於對於微分方程我們討論其通解、特解的一個過程)。

  我們從b出發，無非面臨如下的兩種情況。

 

  齊次方程：

  b = 0(注意這裡的0代表的是向量)。我們稱這樣的線性方程組為齊次方程組。

  即這裡線性方程組可以寫成Ax = 0的形式。很容易看到，這個方程必有一個解x0，其個個分量均為0，對應到線性方程組，即x1=0,x2=0,x3=0,…xn=0,在這裡我們稱這個解x0為平凡解。

  但這並不會影響我們求解齊次方程的解集，下面給出一個例子，進行對齊次線性方程組的解集進行討論。(這裡涉及一個向量的參數表達形式，很簡單不必贅言)

 

 

  非齊次方程：

  b≠0，我們基於給出的例題，給b一個非零向量的值再次進行求解。

  對比兩個題目的答案，我們似乎有了驚喜的發現，在齊次方程的求解中，我們得到解用向量參數表達的形式為x = sv(s是常數，v是向量)，而在非齊次方程的求解中，我們得到的解用向量參數表達的形式為x = p + sv(s是參數，v、p是向量)，其實我們可以做更多的實驗來檢驗，發現對於齊次方程組Ax = 0和非齊次方程組的解集，都存在上述形式上的規律，因此我們定義非齊次方程組的解集x = p + sv中的p是該方程組的特解，即有如下的定理成立。

 

 有意思的事，對於解是R^2或者R^3的情形，我們能夠基向量的加法來從幾何上描述這兩組解的聯絡，即非齊次方程的組的任意解可以看成其特解向量p沿著對應齊次方程的任意解v平移任意個單位長度得到。

 

  從上面的例子中，我們不難在求解線性方程組的解集中添加一定的步驟使解整合為參數向量的形式。

  將相容方程組的解集寫成參數向量的演算法如下：

 

 

《Linear Algebra and Its Application》-線性方程組的解