《Linear Algebra and Its Applications》- 線性方程組

標籤：

  同微分方程一樣，線性代數也可以稱得上是一門描述自然的語言，它在眾多自然科學、經濟學有著廣闊的建模背景，這裡筆者學識有限暫且不列舉了，那麼這片文章來簡單的討論一個問題——線性方程組。

  首先從我們中學階段就很熟系的二元一次方程組，我們採用換元(其實就是高斯消元)的方法。但是現在我們需要討論更加一般的情況，對於線性方程，有如下形式：

  a1x1+a2x2+…anxn = b.

  現在我們給出多個這樣的方程構成方程組，我們是否有通用的解法呢？

  在《Linear Algebra and Its Applications》一書中一開始給出了非常棒的引入，在這裡限於篇幅，筆者只進行簡單的概括。

  通過多元線性方程組的樸素高斯消元過程，我們發現這個過程其實就是方程之間的加減運算，將含n個未知數的線性方程的n個係數和1個常數視為n+1個參數來表徵這個線性方程，然後我們將所有線性方程的係數都給抽出來，得到係數矩陣，再在每一行後面添加常數，形成增廣矩陣。這其實是一種引入工具來簡化運算的方法，而基於樸素高斯消元各個方程相加相減的等價性，我們也應該賦予我們新引入的這個工具——“矩陣”以相同的性質，即矩陣的初等行變換：

(1)    每行乘以常數c，矩陣不變。

(2)    某行乘以常數c加到另外一行，矩陣不變。

(3)    任意兩行交換位置，矩陣不變。

為什麼要注意到矩陣的這些性質呢？因為它們非常有用啊！有什麼用呢？

對於任意一個線性方程組，我們想要基於其增廣矩陣進行簡化運算以求得解，而這個過程基於高斯消元法的思路，就是消除掉一個一個的未知數，放到增廣矩陣裡，就可以看成自上而下，變數的數量越拉越少，在矩陣中越往下，係數為0的變數個數越多，這就自然而然的引出了行階梯型矩陣的定義：

很容易看到，如果我們面對一個線性方程組的增廣矩陣，並將其轉化成行階梯型，然後在將其轉化成線性方程組，這無疑是利於我們解這個線性方程的。為什麼呢？很簡單啊，基於行階梯型的特點，我們從下往上可以逐個確定變數，然後用已經確定的變數來表示其他變數，那麼這個線性方程組便可求解了。

 

那麼好了，現在我們面臨的這樣幾個問題：

Q1：面對一個普通的增廣矩陣，我們如何將其化成我們喜歡的行階梯型呢？

Q2：基於行階梯型，我們容易寫出解的形式(這裡涉及主元的概念，將主元視為基本變數，其餘視為自由變數，解的基本形式就是基本變數用自由變數表示)，但是，如何判斷它一定有解呢？有解的情況下，是唯一解還是無窮解呢？

針對Q1：它其實是一個計算性質的問題，在這裡本書給出了如下的化簡演算法：

針對Q2：基於我們對行階梯型矩陣與線性方程組之間的轉化的理解，我們能夠很自然的看到，對於n元的線性方程組：

(i)                 如果其增廣矩陣不含自由變數，則我們可以自下(xn)而上(x1)一一確定各變數的值，有唯一解

(ii)               如果至少存在一個自由變數，那麼顯然整個解空間會隨著自由變數的改變而對應的發生改變，有無窮個解。

(iii)             如果在行階梯型中出現了某行是<0，0，0…,b>的形式(b≠0)，則將其轉化成線性方程會出現0 = b的結果，這與數學現實矛盾，表明此線性方程組無解。

《Linear Algebra and Its Applications》- 線性方程組