《Linear Algebra and Its Applications》- 向量方程

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  這片文章我們用來記錄向量、向量方程及其與線性方程的關係。

 

  向量：談起向量，你腦海中的第一印象是什麼呢？是高中物理當中“即有方向又有大小”與“標量”相對的抽象概念？還是不管平面解析和空間幾何確定位置的工具？還是《神偷奶爸2》裡面的那個壞蛋？其實這些都是片面的向量，我們將nx1的矩陣視為一個向量，用R^n來表示，即向量R^n其實是一列數，每個數字都代表了這個向量一個分量的大小，我們還可以將其寫成<a1,a2,a3,…an>的形式。

 

 

  特殊的向量的幾何意義：現在基於推廣性的向量定義，我們在回頭看我們曾經用到過的向量，對於兩個分量的向量R^2，其實就是表示平面內的某條有方向的線段，對於三個分量的向量R^3，其實就是空間內某條有方向的線段。

 

  向量的加減運算：向量的運算最基本的一件事情，就是基於它n個分量上進行，即對於兩個分量的向量a = <a1,a2>，b = <b1,b2>,有a + b = <a1+b1,a2+b2>。聰明的讀者可能已經想到了，這其實是與我們在高中物理的力學中所謂的“正交分解”是相互呼應的，而其實也是基於此，我們能夠得到我們熟悉的所謂“平行四邊形法則”、“三角形法則”。

  更全面的向量的代數性質，下表給出。

 

 

 

  向量方程：在介紹向量方程之前，我們先介紹一個名詞——線性組合。簡答的來說，對於變數x，它能夠寫成x = c1x1 + c2x2(x1,x2是變數，c1,c2是常量)，那麼我們稱x可以表示為x1和x2的一個線性組合。

  那麼拿到向量這裡也是同樣的道理。

  下面我們基於這個線性組合的概念，通過一個例題來引出向量方程。

  引出的很自然，可以看到，所謂向量方程，就是以向量作為參數(也可能是未知量)的方程。

  我們進行進一步的轉化。

 

  是否是我們熟悉的情境，這正是我們上一篇文章所解決的問題啊——求解線性方程組。

  也就是說到這裡，我們能夠明白，對於線性向量方程x1c1 + x2c2…xncn=b(x1,x2,…xn是常數，c1,c2,c3,…b是向量)，它其實是與增廣矩陣為[c1,c2,…cn,b]的線性方程組通解，這就可以使得我們在面臨向量方程的時候，直接將其轉化成增廣矩陣進行求解了。

 

 

  Span符號的含義：基於線性組合個概念，我們記Span(v1,v2,v3,…,vn)表示v1~vn這n個向量所有線性組合的集合。

  而基於 Span符號的這個概念，我們能進一步發現Span(v)和Span(v,u)有著實際的幾何意義。

 

 

 

  基於對Span(v,u)幾何含義的瞭解，我們來看這樣一道例題。

 

 

總括起來，我們能夠發現，本書一開始對於線性代數的介紹，是主要從它的“工具性”出發，力求讓讀者深刻明了的明白向量、線性方程組、矩陣這些為運算提供便利的有利工具的概念和相互聯絡，以為後面各種定理的證明奠定堅實的基礎。

《Linear Algebra and Its Applications》- 向量方程