線性規劃--概要

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線性規劃

式約束的條件下，使一個線性函數達到極值。即。目標函數與約束均為線性規劃稱為線性規劃。

常見形式

 

線性規劃是凸最佳化

凸最佳化：

在凸集上的凸函數規劃，稱為凸規劃。

可證明，線性集合是凸集，其滿足

線性函數是凸函數, 即

但非嚴格凸。

統一形式

為了方便統一求解，得出線性規劃的統一形式：

當中。通過引入鬆弛變數。把不等式變為等式。

 

進而能夠寫成矩陣的形式：

當中A稱為約束矩陣。

可行解

在約束矩陣A的限制下，我們得到一個可行域，可行域裡的解稱為可行解。

那麼求解可行域，也就是一個求解線性方程組的過程。

一般而言。A的秩m<<n。線性方程組Ax=b有無窮個解。我們取當中的m個線性無關向量為其基向量，設其它的非基向量係數 為0。就得到了約束方程A的一個解。稱為基解。

 

定理：如線性規劃存在可行解，則它必然存在基可行解是最優解。（證略）

 

即。若線性規劃有最優解，僅僅需從基可行解中尋找就可以。

基變數規範式

不失一般性的。我們如果前k個列向量是基變數，把如上的矩陣形式寫成分塊矩陣形式：

繼續變換。把分塊形式推導成例如以下形式：

 

定理：x是相應於基B的基可行解，全體判別數非負。則x為最優解

 

證：我們看目標函數

分為兩個部分。第一部分關於基向量B。為一個確定的數，之後為全部的非基向量。假設第二項係數非負。那麼有：

即假設使這項係數為0，能夠得到更優的解；取這些非基向量係數全為0，則可行解x為最優解。

 

那麼，我們就能夠不斷地迭代不同的基向量，當所述確定因子滿足整個非負，得到最優解。相應的方法是簡單的方法。

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