Manacher演算法__演算法

一：背景

  給定一個字串，求出其最長迴文子串。例如：
  （1）s=”abcd”,最長迴文長度為 1；
  （2）s=”ababa”,最長迴文長度為 5；
  （3）s=”abccb”,最長迴文長度為 4，即 bccb。
  以上問題的傳統思路大概是，遍曆每一個字元，以該字元為中點向兩邊尋找。其時間複雜度為 O(n2) O(n^2)，很不高效。而在1975年，一個叫Manacher的人發明了一個演算法，Manacher演算法，也稱馬拉車演算法，該演算法可以把時間複雜度提升到 O(n) O(n)。下面來看看馬拉車演算法是如何工作的。 二：演算法過程分析

  由於迴文分為偶迴文（比如 bccb）和奇迴文（比如 bcacb），而在處理奇偶問題上會比較繁瑣，所以這裡我們使用一個技巧，在字元間插入一個字元（前提這個字元未出現在串裡）。舉個例子：s="abbahopxpo"，轉換為s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（這裡的字元 $ 只是為了防止越界，下面代碼會有說明），如此，s 裡起初有一個偶迴文abba和一個奇迴文opxpo，被轉換為#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，長度都轉換成了奇數。
  定義一個輔助數組int p[]，p[i]表示以s_new[i]為中心的最長迴文的半徑，例如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#	o	#
p[i]		1	2	1	4	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	6	1	2	1	2	1

可以看出，p[i]-1正好是原字串中最長迴文串的長度。
  Manacher演算法之所以快，就快在對 p 數組的求法上有個捷徑。在我們解決了奇偶迴文的繁瑣時，剩下的痛點就是求 p 數組，按照普通思維，我們是這樣求解的：求解p[i]，先初始化p[i]=1，再以s_new[i]為中心判斷兩邊是否相等，相等就p[i]++。這就是普通的思維，但是我們想想，能否讓p[i]的初始化不是 1，讓它更大點，看下圖：

  設定兩個變數，mx 和 id 。
  mx 代表以s_new[id]為中心的最長迴文最右邊界，也就是mx=id+p[id]。
  假設我們現在求p[i]，也就是以s_new[i]為中心的最長迴文半徑，如果i<mx，如上圖，那麼：

 if (i < mx)              p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id -i其實就是等於 j ，p[j]表示以s_new[j]為中心的最長迴文半徑，見上圖，因為 i 和 j 關於 id 對稱，我們利用p[j]來加快尋找。 三：代碼

/** *  * author 劉毅（Limer） * date   2017-02-25 * mode   C++  */#include<iostream>  #include<string.h>#include<algorithm>  using namespace std;char s[1000];char s_new[2000];int p[2000];int Init(){    int len = strlen(s);    s_new[0] = '$';    s_new[1] = '#';    int j = 2;    for (int i = 0; i < len; i++)    {        s_new[j++] = s[i];        s_new[j++] = '#';    }    s_new[j] = '\0';  //別忘了哦      return j;  //返回s_new的長度  }int Manacher(){    int len = Init();  //取得新字串長度並完成向s_new的轉換      int maxLen = -1;   //最長迴文長度      int id;    int mx = 0;    for (int i = 1; i < len; i++)    {        if (i < mx)            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  //需搞清楚上面那張圖含義, mx和2*id-i的含義        else            p[i] = 1;        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  //不需邊界判斷，因為左有'$',右有'\0'              p[i]++;        if (mx < i + p[i])  //我們每走一步i，都要和mx比較，我們希望mx儘可能的遠，這樣才能更有機會執行if (i < mx)這句代碼，從而提高效率          {            id = i;            mx = i + p[i];        }        maxLen = max(maxLen, p[i] - 1);    }    return maxLen;}int main(){    while (printf("請輸入字串：\n"))    {        scanf("%s", s);        printf("最長迴文長度為 %d\n\n", Manacher());    }    return 0;}

四：演算法複雜度分析

  文章開頭已經提及，Manacher演算法為線性演算法，即使最差情況下其時間複雜度亦為 O(n) O(n)，在進行證明之前，我們還需要更加深入地理解上述演算法過程。
  定義 mx 為以s_new[id]為中心的最長迴文最右邊界，也就是mx=id+p[id]。j 與 i 關於 id 對稱，根據迴文的性質，p[i]的值基於以下三種情況得出：
  （1）j 的迴文串有一部分在 id 的之外，如下圖：

上圖中，黑線為 id 的迴文，i 與 j 關於 id 對稱，紅線為 j 的迴文。那麼根據代碼此時p[i]=mx-i，即紫線。那麼p[i]還可以更大麼。答案是不可能。見下圖：

假設右邊新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分，那麼根據迴文的性質，a 等於 d ，也就是說 id 的迴文不僅僅是黑線，而是黑線+兩條紫線，矛盾，所以假設不成立，故p[i]=mx-i，不可以再增加一分。
  （2）j 迴文串全部在 id 的內部，如下圖：

此時p[i]=p[j]，那麼p[i]還可以更大麼。答案亦是不可能。見下圖：

假設右邊新增的紅色部分是p[i]可以增加的部分，那麼根據迴文的性質，a 等於 b ，，也就是說 j 的迴文應該再加上 a 和 b ，矛盾，所以假設不成立，故p[i]=p[j]，也不可以再增加一分。
  （3）j 迴文串左端正好與 id 的迴文串左端重合，見下圖：

此時p[i]=p[j]或p[i]=mx-i，並且p[i]還可以繼續增加，所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])     p[i]++;

  根據（1）（2）（3），很容易推出Manacher演算法的最壞情況，即為字串內全是相同字元的時候。在這裡我們重點研究Manacher（）中的for語句，推算髮現for語句內平均訪問每個字元5次，即時間複雜度為： Tworst(n)=O(n) T_{worst}(n)=O(n)。
  同理，我們也很容易知道最佳情況下的時間複雜度（最佳情況即字串內字元各不相同）。推算得平均訪問每個字元4次，即時間複雜度為： Tbest(n)=O(n) T_{best}(n)=O(n)。
  綜上，Manacher演算法的時間複雜度為 O(n) O(n)。

參考文獻：
[1] Stephen__. hdu3068之manacher演算法+詳解

文章轉自我的個人部落格：http://www.61mon.com/index.php/archives/181/