[再寄小讀者之數學篇](2014-06-23 積分不等式 [中國科學技術大學2013年高等數學B 考研試題])

標籤：style   color   2014   c   amp   size   

設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一階連續可導, $f(a)=0$. 證明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \cfrac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f‘(x)]^2\rd x -\cfrac{1}{2}\int_a^b [f‘(x)]^2 (x-a)^2\rd x. \eex$$

 

證明: $$\beex \bea \int_a^b f^2(x)\rd x &=\int_a^b \sez{\int_a^xf‘(t)\rd t}^2\rd x\\ &\leq \int_a^b \sez{ \int_a^x f‘^2(t)\rd t \cdot \int_a^x 1^2\rd t }\rd x\\ &=\int_a^b \int_a^x (x-a)f‘^2(t)\rd t\rd x\\ &=\int_a^b \int_t^b (x-a)f‘^2(t)\rd x\rd t\\ &=\int_a^b f‘^2(t)\int_t^b (x-a)\rd x\rd t\\ &=\int_a^b f‘^2(t)\cfrac{(b-a)^2-(t-a)^2}{2}\rd t. \eea \eeex$$