矩陣及其基本運算

一、矩陣

矩陣是什麼呢。如果你去書本或者網上查資料，會得到如下東西：

在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。其定義如下：

由 m × n 個數aij排成的m行n列的數表稱為m行n列的矩陣，簡稱m × n矩陣。記作：

這m×n 個數稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數aij位於矩陣A的第i行第j列，稱為矩陣A的(i , j)元，以數 aij為(i , j)元的矩陣可記為(aij)或(aij)m × n，m×n矩陣A也記作Amn 。元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是複數的矩陣稱為複矩陣。而行數與列數都等於n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。

然後還有矩陣的曆史、詞源來曆等等。

但是，看完這些定義等的， 還是糊塗，為什麼會有矩陣呢。為什麼要這樣定義呢。要矩陣有什麼用呢。

矩陣是線上性代數這門課裡學的，其實，矩陣是應線性方程式而生的，將線性方程組的係數及常數組成矩陣，一開始的矩陣就是這麼來的。這樣就可以將線性方程式的研究轉化為矩陣的研究，簡化了研究。線性代數是向量計算的基礎，很多重要的數學模型都要用到向量計算，所以，矩陣的研究與計算最終將影響的是向量計算。好了，嘮叨了這麼多，還沒說重點呢：矩陣的本質就是線性方程式，兩者是一一對應關係。下面是它的複雜版本矩陣的實質意義：

給定了線性變換，它的係數所構成的矩陣也就確定。線性變換和矩陣之間存在著一一對應的關係。正是由於矩陣和線性變換之間存在著一一對應關係，因此可以利用矩陣來研究線性變換，也可以利用線性變換來解釋矩陣的涵義。

二、矩陣的基本運算

矩陣的基本運算為：加、減、乘法及數乘。

加、減法及數乘都很簡單，加法就是相同位置的數字加一下，減法也類似。矩陣乘以一個常數，就是所有位置都乘以這個數。

但是乘法就比較複雜了，計算規則是：矩陣第m行與第n列交叉位置的那個值，等於第一個矩陣第m行與第二個矩陣第n列，對應位置的每個值的乘積之和。

如下圖所示,第一個矩陣第一行的每個數字（2和1），各自乘以第二個矩陣第一列對應位置的數字（1和1），然後將乘積相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到結果矩陣左上方的那個值3。

這個規則確實也是有點複雜而奇怪的，上學的時候也僅僅是記住了這個規則，因為要考試嘛，從來沒有想過為什麼是這樣，今天查矩陣的時候偶然看到一位前輩的文章：http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/09/matrix-multiplication.html，認真拜讀後整理過來，加深一下自己對矩陣乘法規則的理解和矩陣本質的理解。

結合矩陣的本質，從線性方程式的角度，理解矩陣乘法就毫無難度。

下面是一組線性方程式。

矩陣的最初目的，只是為線性方程組提供一個簡寫形式。

老實說，從上面這種寫法，已經能看出矩陣乘法的規則了：係數矩陣第一行的2和1，各自與 x 和 y 的乘積之和，等於3。不過，這不算嚴格的證明，只是線性方程式轉為矩陣的書寫規則。

下面是嚴格的證明。有三組未知數 x、y 和 t，其中 x 和 y 的關係如下。

x 和 t 的關係如下。

有了這兩組方程式，就可以求 y 和 t 的關係。從矩陣來看，很顯然，只要把第二個矩陣代入第一個矩陣即可。

從方程式來看，也可以把第二個方程組代入第一個方程組。

上面的方程組可以整理成下面的形式。

最後那個矩陣等式，與前面的矩陣等式一對照，就會得到下面的關係。

矩陣乘法的計算規則，從而得到證明。

參考： http://baike.baidu.com/link?url=3BjWZ7twHOZmVKprbSeO8xAd0-_OUKRzXy6FrwzDpwtDCO8Jd3dB_px78mj-XkiqWrTcegQy0ZWivgQvWboZQI1z5WXXIWnjaVB7i3Q1KFq#5 http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/09/matrix-multiplication.html http://wenku.baidu.com/link?url=N-GcV95HP8MOgTBSTLwG9TaEATo3ktkmmD1aCBVmngJuXc5_gvWIuLzeLieY5NGHYeTSGyaDRwnExXmyl4FGjm1iU4u-ZucLdxplWmsxLRK