矩陣理論 第一講 線性空間

前言：為什麼要學習矩陣理論？怎麼來學習、掌握？

• 向量、矩陣及其運演算法則是描述、分析、處理線性系統的有力工具——其"有力"具體表現在這種工具的普適性和簡便性上。
  
• 學習基礎知識 專業課程中進一步認知 科學研究中應用
  

 

第一講 線性空間

 

一、線性空間的定義及性質

[預備知識]

★ 集合：籠統地說是指一些事物（或者對象，稱為元素）組成的整體。

集合的表示：枚舉、運算式，如

; ;

集合的運算：並（），交（）

另外，集合的"和"（）：並不是嚴格意義上集合的運算，因為它限定了集合中元素須有可加性。

★ 數域：一種數集，對四則運算封閉（除數不為零）。比如有理數域、實數域（）和複數域（）。實數域和複數域是工程上較常用的兩個數域。

線性空間是線性代數最基本的概念之一，也是學習矩陣理論的重要基礎。線性空間的概念是對各種具體線性系統的一種統一的抽象。

 

1. 線性空間的定義：

設是一個非空集合，其元素用等表示；是一個數域，其元素用等表示。如果滿足

（I）在中定義一個"加法"運算，即當時，有唯一的"和"（封閉性），且加法運算滿足下列性質

（1）結合律 ；

（2）交換律 ；

（3）零元律 存在零元素，使；

（4）負元律 對於任一元素，存在一元素，使，且稱為的負元素，記為。即，。

（II）在中定義一個"數乘"運算，即當，時，有唯一的"積"（封閉性），且數乘運算滿足下列性質

（5）數因子分配律 ；

（6）分配律 ；

（7）結合律 ；

（8）恒等律 ；

則稱為數域上的線性空間。

注意：

（1）線性空間不能離開某一數域來定義。實際上，對於不同數域，同一個集合構成的線性空間會不同，甚至一種能成為線性空間而另一種不能成為線性空間。

（2）兩種運算、八條性質

數域中的運算是具體的四則運算，而中所定義的加法運算和數乘運算則可以十分抽象。

（3）除了兩種運算和八條性質外，還應注意唯一性、封閉性

唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現不封閉的情況：集合小、運算本身就不滿足。

當數域為實數域時，就稱為實線性空間；為複數域，就稱為複線性空間。

 

例1. 設＝{全體正實數}，其"加法"及"數乘"運算定義為

xy=xy ,

證明：是實數域R上的線性空間。

證：首先需要證明兩種運算的唯一性和封閉性

①唯一性和封閉性

    唯一性顯然

    若x>0,y>0, ，則有

xy=xy 封閉性得證。

②八條性質

（1）x（yz）=x(yz)=(xy)z=(xy)z

（2） xy=xy＝yx= yx

（3） 1是零元素 x1＝
[xo=x——>xo=x－>o=1]

（4） 是x的負元素 x＝ [x+y=o ]

（5） （xy）xy [數因子分配律]

（6） （x）（x） [分配律]

（7） [結合律]

（8） [恒等律]

由此可證，是實數域R上的線性空間。

 

1. 定理：線性空間具有如下性質
   
   1. 零元素是唯一的，任一元素的負元素也是唯一的。
      
   2. 如下恒等式成立： o， 。
      

證明：（1）採用反證法：

①零元素是唯一的。 設存在兩個零元素o1和o2，則由於o1和o2 均為零元素，按零元律有 [交換律]

o1＋o2＝o1 ＝ o2＋o1＝o2

所以 o1＝o2

即 o1和o2 相同，與假設相矛盾，故只有一個零元素。

②任一元素的負元素也是唯一的。假設，存在兩個負元素和，則根據負元律有

o＝

[零元律] [結合律] [零元律]

即和相同，故負元素唯一。

（2） ①：設w=0x，則 x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故 w=o。

[恒等律]

②：設w=(－1)x，則x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o，故w=－x。

 

1. 線性相關性
   

線性空間中相關性概念與線性代數中向量組線性相關性概念類似。

•線性組合：

稱為元素組的一個線性組合。

•線性表示：中某個元素x可表示為其中某個元素組的線性組合，則稱x可由該元素組線性表示。

•線性相關性：如果存在一組不全為零的數，使得對於元素有

則稱元素組線性相關，否則稱其線性無關。【線性相關性概念是個非常重要的概念，有了線性相關性才有下面的線性空間的維數、基和座標】

1. 線性空間的維數
   

定義：線性空間中最大線性無關元素組所含元素個數稱為的維數，記為。

本課程只考慮有限維情況，對於無限維情況不涉及 。

 

例2. 全體m×n階實矩陣的集合構成一個實線性空間（對於矩陣加法和數對矩陣的數乘運算），求其維數。

解：一個直接的方法就是找一個最大線性無關組，其元素儘可能簡單。

令Eij為這樣的一個m×n階矩陣，其（i, j）元素為1，其餘元素為零。

顯然，這樣的矩陣共有mn個，構成一個具有mn個元素的線性無關元素組。另一方面，還需說明元素個數最大。對於任意的，都可由以上元素組線性表示，

——>

即構成了最大線性無關元素組，所以該空間的維數為mn。

 

1. 線性空間的基與座標
   
   1. 基的定義：設V是數域K上的線性空間，是屬於V的r個任意元素，如果它滿足
      

（1）線性無關；

（2）V中任一向量x均可由線性表示。

則稱為V的一個基，並稱為該基的基元素。

•基正是V中最大線性無關元素組；V的維數正是基中所含元素的個數。

•基是不唯一的，但不同的基所含元素個數相等。

 

1. 考慮全體複數所形成的集合C。如果K＝C（複數域），則該集合對複數加法和複數複數的乘法構成線性空間，其基可取為1，空間維數為1；如果取K＝R（實數域），則該集合對複數加法及實數對複數的數乘構成線性空間，其基可取為{1,i}，空間維數為2。
   

 

數域K	兩種運算	基	一般元素	空間類型	維數
複數域C	（1）複數加法；（2）複數對複數的數乘	{1}		複線性空間	1
實數域R	（1）複數加法；（2）實數對複數的數乘	{1,i}		實線性空間	2

1. 座標的定義：稱線性空間的一個基為的一個座標系，，它在該基下的線性表示為：
   

則稱為x在該座標系中的座標或分量，記為

討論：（1）一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質。但座標表示卻把它們統一了起來，座標表示把這種差別留給了基和基元素，由座標所組成的新向量僅由數域中的數表示出來。

（2）更進一步，原本抽象的"加法"及 "數乘"經過座標表示就演化為向量加法及數對向量的數乘。

    

正對應

    

正對應

（3）顯然，同一元素在不同座標系中的座標是不同的。後面我們還要研究這一變換關係。

 

1. 基變換與座標變換
   

基是不唯一的，因此，需要研究基改變時座標變換的規律。

設是的舊基，是的新基，由於兩者都是基，所以可以相互線性表示

()

即

其中C稱為過渡矩陣，上式就給出了基變換關係，可以證明，C是可逆的。

設，它在舊基下的線性表示為

它在新基下的線性表示為

則

由於基元素的線性無關性，得到座標變換關係

 

 

作業：P25－26 3，5，7，9

補充：證明對於線性空間的零元素o，，均有ko＝o。