矩陣論基礎 2.1 矩陣的基本概念

在求線性方程組時，其係數及它們各自的位置是非常重要的，在進行變化時，必須保持各方程的排列次序，因而我們常常將未知數的係數排成一個矩形的數表。

例如：線性方程組

將其係數按照方程組中原有的相應位置排成一個矩形數表如下：

，

我們稱這樣的矩形數表為矩陣。

定義1 由m´n個數aij(i=1, 2,
×
×
×
,
m;
j=1, 2,
×
×
×,
n)排成的m行n列的矩形數表

稱為m´n階矩陣,一般情況下, 我們用大寫字母A,
B,
C等表示矩陣，並記作

,

矩陣中的m´n個數稱為矩陣的元素，所有元素及相應位置是個整體，所以，要加一個方括弧表示它。

矩陣A中m個橫的n元組[a11，a12，…， a1n]，[a21，a22，…， a2n]，…，[am1，am2，…， amn]稱為矩陣的行；n個豎的m元組

稱為矩陣的列。

aij稱為矩陣的第i行第j列的元素. A中有m´n個元素，所以m´n矩陣A也可表示為A=(aij)m´n 或記作A
m´n .例如

表示一個具有2行3列6個元素的矩陣

 

表示一個具有3行4列12個元素的矩陣

表示一個具有2行2列4個元素的矩陣

若矩陣A的行數與列數都等於n, 則稱A為n階矩陣, 或稱為n階方陣.
n階矩陣A也記作An
.

n階矩陣與n階行列式從形式上看只有一點區別，前者是用括弧把n的平方個數括起來，是一個數表，後者是用兩條豎線把n的平方個數圍起來，具有n!項的複雜的展開式，代入具體的元素數值，算出來是一個確定的數

只有一行的矩陣即m=1時，A=(a1a 2×
×
×
an)稱為n元行矩陣, 或稱為n維行向量. 行矩陣也記作

A=(a1,
a 2,
×
×
×
,
an).

只有一列的矩陣

稱為m元列矩陣, 或稱為m維列向量.

矩陣中的元素都是實數時，稱為實矩陣，矩陣中的所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣, 記為O.

兩個矩陣的行數相等、列數也相等, 就稱它們是同型矩陣. 如果A=(aij)與B=(bij)是同型矩陣, 並且 它們的對應元素相等, 即

aij=bij(i=1, 2,
×
×
×,
m;
j=1, 2,
×
×
×,
n),

則稱矩陣A與矩陣B 相等, 記作A=B.

如：若

則a=1,b=3,c=5,d=7。

注意：不同型的零矩陣是不相等的。

研究變數間的線性變換時，可將線性變換與矩陣對應起來。

設n個變數x1,
x2,
×
×
×,
xn與m個變數y1,
y2,
×
×
×,
ym之間的關係式

表示一個從變數x1,
x2,
×
×
×,
xn到變數y1,
y2,
×
×
×,
ym的線性變換, 其中aij為常數. 線性變換的係數aij構成矩陣A=(aij)m´n,即

稱為係數矩陣.

給定了線性變換, 它的係數所構成的矩陣也就確定了. 反之, 如果給出一個矩陣作為線性變換的係數矩陣, 則線性變換也就確定了. 在這個意上, 線性變換與矩陣之間存在著一一對應的關係.矩陣A可以反映線性變換的特點。

如果對應一個恒等變換

它對應的係數矩陣是一個n階方陣

.

這種方陣的特點是：主對角線上的元素全部是1，其它元素都是0，我們稱這樣的矩陣為n階單位矩陣, 簡稱單位陣. 通常記作En，反之，一個單位矩陣對應的線性變換一定是個恒等變換。

線性變換

對應的n階方陣

.

這種方陣稱為對角矩陣, 簡稱對角陣. 對角陣也記作

L=diag(l1,
l2,
×
×
×,
ln).

如果將變數組看成一個m列矩陣，將將變數組看成一個n元列矩陣，由矩陣的乘法運算可將線性變換表示為Y=AX。

同樣地，在研究線性方程組的求解問題中可將線性方程組

 

表示為Ax=b

，

A稱為係數矩陣。

我們將在下一章討論矩陣A的性質與線性方程組解的關

系。