矩陣論基礎 2.4 矩陣的分塊法

第四節 矩陣的分塊法

 

在進行矩陣的運算時，如果矩陣很大，作各種矩陣運算時會很煩瑣，可以採用將矩陣分塊的方法，用一系列水平與垂直的直線將矩陣A分成若干個小矩陣，每個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣，對分塊後的矩陣進行運算，會大大減少運算量，簡化計算過程，這種方法稱為矩陣的分塊法。

例如，

用矩形中所畫水平和垂直直線分成6塊，記為

在形式上矩陣A原為3×4階矩陣，分塊後，A用子塊表示為2×3階矩陣。

顯然，對給定的矩陣有多種分塊法，例如：將矩陣

分成2行2列的分塊矩陣，可採用下列分塊法：

共有8種分法。

一般地，要按照問題的具體需要對矩陣進行合理分塊，下面介紹幾種特殊的分塊方法：

（1）按行分塊：將矩陣的每一行作為一個子塊，記為

這種分法將m×n階矩陣化為m元列矩陣。

（2）按列分塊：將矩陣的每一列作為一個子塊，記為

這種分法將m×n階矩陣化為n元行矩陣。

（3）對角矩陣：對於n階方陣An，如果將其化為只有在主對角線上有非零子塊，且均為方陣，其餘子塊都為零矩陣，即

其中Ai是非零方陣，（i=1,2,…,r），稱A為分塊對角矩陣。

這種分塊法可簡化複雜的方陣運算。分塊對角矩陣A有下列性質：

（1） |A|=|A1||A2|×
×
×|Ar|.

（2）如果|Ai|¹0(i=1, 2,
×
×
×r), 則|A|¹0, 並有

.

例16 設, 求A-1.

解 ,

A11=(3),
;

,
;

所以 .

分塊矩陣的運算和一般矩陣的運算定義一樣，所不同的是一般矩陣的運算是在元素與元素之間進行，而分塊矩陣的運算是在子塊與子塊之間進行。

設矩陣A與B為同型矩陣，且對A，B採用相同的分塊法, 有

,
,

其中Aij與Bij同型（i=1,2,…,s;j=1,2,…,r) 那麼

（1） .

(2) .

（3）

(4)設U為m´p矩陣,
V為p´n矩陣, U和V分塊成

,
,

其中Ui1,
Ui2,
×
×
×,
Uit的列數分別等於V1j,
V2j,
×
×
×,
Vtj,的行數, 那麼

,

其中 (i=1, 2,
×
×
×,
s;
j=1, 2,
×
×
×,
r).

例17 設A，B為n 階可逆方陣，證明分塊矩陣也可逆。且

.

證明：A，B為n 階可逆方陣，由可逆矩陣存在的充分必要條件，可得|A|≠0，|B|≠0，有

所以 是可逆的。

設

,

則

.

由此得 Þ,

所以
.