矩陣論基礎 3.1初等變換

第一節 初等變換

 

定義1 下面三種對矩陣的變換，統稱為矩陣的初等行變換

(1)互換矩陣中兩行的位置如果第i,
j兩行互換，記作ri«rj;

(2)以任意數k¹0去乘矩陣的第i行所有元素，記作k ri);

(3)把矩陣的第i行的k倍加到第j行上去（其中k 為任意數），記作krirj,).

例1 設矩陣，對A施以行初等變換。

解：

從例1知，矩陣A經過初等行變換化成矩陣

我們稱這種類型的矩陣為行階梯矩陣。其特點為：每一行首位非零元素所在列的位置逐個增加，且零行在非零行下面。如

都是行階梯矩陣。而是非行階梯矩陣。

如果對例1中的行階梯矩陣進一步實施行變換，可使它更加簡化。

 

最後這個矩陣稱為行最簡型矩陣，其特點是：

（1）滿足行階梯矩陣特徵，是一個行階梯矩陣

（2）它每行中首位非零元素是1，而且首位非零元素所在列除1外，其它元素都是0，如：

都是行最簡型矩陣。

對於矩陣的初等變換有如下幾點說明：

（1）初等行變換可以將任意m×n 階矩陣化為行階梯矩陣和行最簡型矩陣。

（2）初等行變換後的矩陣一般情況下與原矩陣不相等，所以一定要用"→"來串連變換前後的矩陣。

（3）三種初等行變換都是可逆的，即經變換後的矩陣再施以同類型的變換又會回到原矩陣。如

注: 三種變換都是可逆的, 且其逆變換是同一類型的初等變換; 變換ri«rj的逆變換就是其本身; 變換ri´k的逆變換為(或記作ri¸k); 變換rikrj的逆變換為ri(-k)rj(或記作ri-krj).

（4）如果對行的三種變換換成對列的，同樣得到對列的三種變換，分別記為ci«cj（對調i,
j兩列）；k ci（以任意數k¹0去乘矩陣的第i列的所有元素）；kci cj （第i列的k倍再加到第j列上）。這就是矩陣的初等列變換。矩陣的初等行變換和初等列變換統稱為矩陣的初等變換。

定義2 如果矩陣A經有限次初等變換變成矩陣B, 就稱矩陣A與B等價, 記作.

如果An是可逆矩陣，那麼An經過有限次的初等變換可化成單位矩陣En，所以，等價矩陣具有下列性質:

(i)反身性 A~A;

(ii)對稱性 若A~B, 則B~A;

(iii)傳遞性 若A~B,
B~C, 則A~C
.

例2 將矩陣化為行最簡型矩陣

解

所以