最小產生樹計數-Kruskal+Matrix_Tree定理

/* *演算法引入： *給定一個含有N個結點M條邊的無向圖,求它最小產生樹的個數t(G); * *演算法思想： *拋開“最小”的限制不看,如果只要求求出所有產生樹的個數,是可以利用Matrix-Tree定理解決的; *Matrix-Tree定理此定理利用圖的Kirchhoff矩陣,可以在O(N3)時間內求出產生樹的個數; * *kruskal演算法： *將圖G={V,E}中的所有邊按照長度由小到大進行排序,等長的邊可以按照任意順序; *初始化圖G’為{V,Ø},從前向後掃描排序後的邊,如果掃描到的邊e在G’中串連了兩個相異的連通塊,則將它插入G’中; *最後得到的圖G’就是圖G的最小產生樹; * *由於kruskal按照任意順序對等長的邊進行排序,則應該將所有長度為L0的邊的處理當作一個階段來整體看待; *令kruskal處理完這一個階段後得到的圖為G0,如果按照不同的順序對等長的邊進行排序,得到的G0也是不同; *雖然G0可以隨排序方式的不同而不同,但它們的連通性都是一樣的,都和F0的連通性相同(F0表示插入所有長度為L0的邊後形成的圖); * *在kruskal演算法中的任意時刻,並不需要關注G’的具體形態,而只要關注各個點的連通性如何(一般是用並查集表示); *所以只要在掃描進行完第一階段後點的連通性和F0相同,且是通過最小代價到達這一狀態的,接下去都能找到最小產生樹; * *經過上面的分析,可以看出第一個階段和後面的工作是完全獨立的; *第一階段需要完成的任務是使G0的連通性和F0一樣,且只能使用最小的代價; *計算出這一階段的方案數,再乘上完成後續事情的方案數,就是最終答案; * *由於在第一個階段中,選出的邊數是一定的,所有邊的長又都為L0; *所以無論第一個階段如何進行代價都是一樣的,那麼只需要計算方案數就行了; *此時Matrix-Tree定理就可以派上用場了,只需對F0中的每一個連通塊求產生樹個數再相乘即可; * *Matrix-Tree定理: *G的所有不同的產生樹的個數等於其Kirchhoff矩陣C[G]任何一個n-1階主子式的行列式的絕對值； *n-1階主子式就是對於r(1≤r≤n),將C[G]的第r行,第r列同時去掉後得到的新矩陣,用Cr[G]表示; * *演算法舉例： *HDU4408(Minimum Spanning Tree) * *題目地址： *http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4408 * *題目大意： *給定一個含有N個結點M條邊的無向圖,求它最小產生樹的個數,所得結果對p模數;**/#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<queue>#include<algorithm>#include<vector>using namespace std;const int N=111;const int M=1111;typedef __int64 LL;struct Edges{    int a,b,c;    bool operator<(const Edges & x)const    {        return c<x.c;    }} edge[M];int n,m;int mod;LL f[N],U[N],vist[N];//f,U都是並查集，U是每組邊臨時使用LL G[N][N],C[N][N];//G頂點之間的關係，C為產生樹計數用的Kirchhoff矩陣vector<int>V[N];//記錄每個連通分量int Find(int x,LL f[]){    if(x==f[x])        return x;    else        return Find(f[x],f);}LL det(LL a[][N],int n)//產生樹計數:Matrix-Tree定理{    for(int i=0; i<n; i++)        for(int j=0; j<n; j++)            a[i][j]%=mod;    int ret=1;    for(int i=1; i<n; i++)    {        for(int j=i+1; j<n; j++)            while(a[j][i])            {                int t=a[i][i]/a[j][i];                for(int k=i; k<n; k++)                    a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*t)%mod;                for(int k=i; k<n; k++)                    swap(a[i][k],a[j][k]);                ret=-ret;            }        if(a[i][i]==0)            return 0;        ret=ret*a[i][i]%mod;    }    return (ret+mod)%mod;}void Solve(){    sort(edge,edge+m);//按權值排序    for(int i=1; i<=n; i++)//初始化並查集    {        f[i]=i;        vist[i]=0;    }    LL Edge=-1;//記錄相同的權值的邊    LL ans=1;    for(int k=0; k<=m; k++)    {        if(edge[k].c!=Edge||k==m)//一組相等的邊,即權值都為Edge的邊加完        {            for(int i=1; i<=n; i++)            {                if(vist[i])                {                    LL u=Find(i,U);                    V[u].push_back(i);                    vist[i]=0;                }            }            for(int i=1; i<=n; i++) //枚舉每個連通分量            {                if(V[i].size()>1)                {                    for(int a=1; a<=n; a++)                        for(int b=1; b<=n; b++)                            C[a][b]=0;                    int len=V[i].size();                    for(int a=0; a<len; a++) //構建Kirchhoff矩陣C                        for(int b=a+1; b<len; b++)                        {                            int a1=V[i][a];                            int b1=V[i][b];                            C[a][b]=(C[b][a]-=G[a1][b1]);                            C[a][a]+=G[a1][b1];//連通分量的度                            C[b][b]+=G[a1][b1];                        }                    LL ret=(LL)det(C,len);                    ans=(ans*ret)%mod;//對V中的每一個連通塊求產生樹個數再相乘                    for(int a=0; a<len; a++)                        f[V[i][a]]=i;                }            }            for(int i=1; i<=n; i++)            {                U[i]=f[i]=Find(i,f);                V[i].clear();            }            if(k==m)                break;            Edge=edge[k].c;        }        int a=edge[k].a;        int b=edge[k].b;        int a1=Find(a,f);        int b1=Find(b,f);        if(a1==b1)            continue;        vist[a1]=vist[b1]=1;        U[Find(a1,U)]=Find(b1,U);//並查集操作        G[a1][b1]++;        G[b1][a1]++;    }    int flag=0;    for(int i=2; i<=n&&!flag; i++)        if(U[i]!=U[i-1])            flag=1;    if(m==0)        flag=1;    printf("%I64d\n",flag?0:ans%mod);}int main(){    //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin);    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod),n+m+mod)    {        memset(G,0,sizeof(G));        for(int i=1; i<=n; i++)            V[i].clear();        for(int i=0; i<m; i++)            scanf("%d%d%d",&edge[i].a,&edge[i].b,&edge[i].c);        Solve();    }    return 0;}