【MT原創題 丘位元的煩惱】Hopcroft-Karp演算法、tarjan

題目H8OJ上有，這裡就不羅嗦了

題目不難，簡單講一下解法

先求個最大匹配，再把無向邊定向，匹配邊由x集->y集，非匹配邊由y集->x集，這樣定向了之後，任意一條從x集出發y集結束的路徑就對應了一條增廣路

求出這個圖的強連通分量，如果一條邊的兩個端點處於同一個分量內，那這條邊其實沒什麼影響力，刪了這條邊原圖仍然存在完備匹配

而如果這條邊的兩個端點不在一個分量內，那這條邊如果是匹配邊那就一定會被選，如果不是匹配邊那就一定不會被選

可是，由於這個題的資料規模比較重口味，N<=200000; M<=600000，傳統的匈牙利演算法已經無法勝任了，我們需要更NB的求最大匹配的演算法，這個演算法就是HK演算法

這個演算法名字看起來很唬人，實際上沒什麼

它的思想跟dinic有點像，大概就是每次先廣搜出一個距離標號，然後匈牙利的增廣過程就只找標號等於自己加一的點，一次標號多次增廣

可以證明增廣次數是O(sqrt(n))的，每次增廣的複雜度是O(m)，總的複雜度就只有O(sqrt(n)*m)

一個細節：

由於要保證廣搜出來的路也是交錯軌，所以廣搜時x集的點只擴充y集的已蓋點，而y集的點只擴充它對應的那個匹配點，但距離標號還是要更新的

哎呀，感覺這裡有點說不清，參考代碼吧

program syj;<br />var<br /> n,m,t,i,j,k,e,st,ed:longint; ok:boolean;<br /> a,h,d,q,low,f:array[0..400005]of longint;<br /> next,point:array[0..1200005]of longint;<br /> aa,bb:array[0..600005]of longint;<br /> v:array[0..400005]of boolean;<br /> u:array[0..1200005]of boolean;<br />function find(i:longint):boolean;<br />var j,k:longint;<br />begin<br /> j:=h[i];<br /> while j<>0 do begin<br /> k:=point[j];<br /> if (d[k]=d[i]+1)and not v[k] then begin<br /> v[k]:=true;<br /> if (a[k]=0)or find(a[k]) then begin<br /> a[k]:=i;a[i]:=k;<br /> exit(true);<br /> end;<br /> end;<br /> j:=next[j];<br /> end;<br /> find:=false;<br />end;<br />procedure dfs(i:longint);<br />var j,k:longint;<br />begin<br /> inc(t); d[i]:=t;low[i]:=t;<br /> inc(ed); q[ed]:=i;<br /> v[i]:=true; j:=h[i];<br /> while j<>0 do begin<br /> if u[j] then begin<br /> j:=next[j];continue;<br /> end;<br /> u[j]:=true; k:=point[j];<br /> if d[k]=0 then begin<br /> dfs(k);<br /> if low[k]<low[i] then low[i]:=low[k];<br /> end else<br /> if v[k]and(d[k]<low[i]) then low[i]:=d[k];<br />// if low[k]>d[i] then g[j>>1]:=1+ord(i>k);<br /> j:=next[j];<br /> end;<br /> if d[i]=low[i] then<br /> while q[ed+1]<>i do begin<br /> v[q[ed]]:=false;f[q[ed]]:=i;<br /> dec(ed);<br /> end;<br />end;<br />begin<br /> assign(input,'cupid.in');reset(input);<br /> assign(output,'cupid.out');rewrite(output);<br /> readln(n,m);<br /> e:=1;<br /> for m:=1 to m do begin<br /> readln(j,k);<br /> aa[m]:=j;bb[m]:=k;<br /> inc(e); next[e]:=h[j];point[e]:=k+n;h[j]:=e;<br /> inc(e); next[e]:=h[k+n];point[e]:=j;h[k+n]:=e;<br /> end;<br /> ok:=true;<br /> while ok do begin<br /> st:=0;ed:=0;<br /> fillchar(d,sizeof(d),$FF);<br /> for i:=1 to n do<br /> if a[i]=0 then begin<br /> inc(ed);q[ed]:=i;d[i]:=0;<br /> end;<br /> while st<ed do begin<br /> inc(st);i:=q[st];<br /> if i<=n then begin<br /> j:=h[i];<br /> while j<>0 do begin<br /> k:=point[j];<br /> if d[k]=-1 then begin<br /> d[k]:=d[i]+1;<br /> if a[k]>0 then begin<br /> inc(ed);q[ed]:=k;<br /> end;<br /> end;<br /> j:=next[j];<br /> end;<br /> end else begin<br /> inc(ed);q[ed]:=a[i];d[a[i]]:=d[i]+1;<br /> end;<br /> end;<br /> ok:=false;<br /> fillchar(v,sizeof(v),0);<br /> for i:=1 to n do begin<br /> if a[i]=0 then<br /> ok:=find(i)or ok;<br /> end;<br /> end;<br />// for i:=1 to n+n do if a[i]=0 then writeln(i);<br /> for i:=1 to n+n do begin<br /> j:=h[i];<br /> while j<>0 do begin<br /> if (point[j]<>a[i])xor(i>n) then u[j]:=true;<br /> j:=next[j];<br /> end;<br /> end;<br /> ed:=0; t:=0;<br /> fillchar(v,sizeof(v),0);<br /> fillchar(d,sizeof(d),0);<br /> for i:=1 to n do if d[i]=0 then dfs(i);<br /> for i:=1 to m do<br /> if f[aa[i]]=f[bb[i]+n] then write(0) else<br /> if a[aa[i]]=bb[i]+n then write(1) else write(2);<br /> writeln;<br /> close(input);close(output);<br />end.<br />