多尺度幾何分析（Ridgelet、Curvelet、Contourlet、Bandelet、Wedgelet、Beamlet）

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        稀疏基的討論已經持續了近一個月了，這次討論多尺度幾何分析。但由於下面討論的這些變換主要面向映像，而本人現在主要關注於一維訊號處理，所以就不對這些變換深入討論了，這裡僅從眾參考文獻中摘抄整理一些相關內容作為自己的一個備忘錄，概念也許並不一定理解的準確，若以後殺入影像處理領域再行好好揣摩研究。

一、從小波分析到多尺度幾何分析

        小波分析取在從多學科領域中取得巨大成功的一個關鍵原因在於它比傅裡葉分析能更“稀疏”地表示一維分段光滑或者有界變差函數。遺憾的是，小波分析在一維時所具有的優異特性並不能簡單的推廣到二維或更高維。這是因為一維小波張成的可分離小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最優”表示含線或者面奇異的高維函數，但事實上具有線或面奇異的函數在高維空間中非常普遍，例如，自然物體光滑邊界使得自然映像的不連續性往往體現為光滑曲線上的奇異性，而並不僅僅是點奇異。換句話說，在高維情況下，小波分析並不能充分利用資料本身特有的幾何特徵，並不是最優的或者說“最稀疏”的函數表示方法；而繼小波分析之後發展起來的多尺度幾何分析（Multiscale Geometric Analysis,MGA）發展的目的和動力正是要致力於發展一種新的高維函數的最優表示方法，為了檢測、表示、處理某些高維空間資料，這些空間的主要特點是：其中資料的某些重要特徵集中體現於其低維子集中（如曲線、面等）。比如，對於二維映像，主要特徵可以由邊緣所刻畫，而在3-D映像中，其重要特徵又體現為絲狀物（filaments）和管狀物（tubes）。

        由一維小波張成的二維小波基具有正方形的支撐區間，不同的解析度下，其支撐區間為不同尺寸大小的正方形。二維小波逼近奇異曲線的過程最終表現為用“點”來逼近線的過程。在尺度j，小波支撐區間的邊長近似為2-j，幅值超過2-j的小波係數的個數至少為O(2j)階，當尺度變細時，非零小波係數的數目以指數形式增長，出現了大量不可忽略的係數，最終表現為不能“稀疏”表示原函數。因此，我們希望某種變換在逼近奇異曲線時，為了能充分利用原函數的幾何正則性，其基的支撐區間應該表現為“長條形”，以達到用最少的係數來逼近奇異曲線。基的“長條形”支撐區間實際上是“方向”性的一種體現，也稱為這種基具有“各向異性(anisotropy)”。我們希望的這種變換就是“多尺度幾何分析”。

        映像的多尺度幾何分析方法分為自適應和非自適應兩類，自適應的方法一般先進行邊緣檢測再利用邊緣資訊對原函數進行最優表示，實際上是邊緣檢測和映像表示方法的結合，此類方法以Bandelet和Wdgelet為代表；非自適應的方法並不要先驗地知道映像本身的幾何特徵，而是直接將映像在一組固定的基或架構上進行分解，這就擺脫了對映像自身結構的依賴，其代表為Ridgelet、Curvelet和Contourlet變換。

二、幾種多尺度幾何分析 1、脊波(Ridgelet)變換

        脊波(Ridgelet)理論由EmmanuelJ Candès於1998年在其博士論文中提出，這是一種非自適應的高維函數表示方法，具有方向選擇和識別能力，可以更有效地表示訊號中具有方向性的奇異特徵。脊波變換首先對映像進行Radon變換，即把映像中的一維奇異性比像中的直線映射成Randon域的一個點，然後用一維小波進行奇異性的檢測，從而有效地解決了小波變換在處理二維映像時的問題。然而自然映像中的邊緣線條以曲線居多，對整幅映像進行Ridgelet分析並不十分有效。為瞭解決含曲線奇異的多變數函數的稀疏逼近問題，1999年，Candes又提出了單尺度脊波(MonoscaleRidgelet)變換，並給出了其構建方法。另一種方法是對映像進行分塊，使每個分塊中的線條都近似直線，再對每個分塊進行Ridgelet變換，這就是多尺度Ridgelet。脊波變換對於具有直線奇異的多變數函數有良好的逼近效能，也就是說對於紋理（線奇異性）豐富的映像，Ridgelet可以獲得比小波更加稀疏的表示；但是對於含曲線奇異的多變數函數，其逼近效能只相當於小波變換，不具有最優的非線性逼近誤差衰減階。

2、曲波(Curvelet)變換

        由於多尺度Ridgelet分析冗餘度很大，Candès和Donoho於1999年在Ridgelet變換的基礎上提出了連續曲波（Curvelet）變換，即第一代Curvelet變換中的Curvelet99； 2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet變換中的Curvelet02。第一代Curvelet變換實質上由Ridgelet理論衍生而來，是基於Ridgelet變換理論、多尺度Ridgelet變換理論和帶通濾波器理論的一種變換。單尺度脊波變換的基本尺度是固定的，而Curvelet變換則不然，其在所有可能的尺度上進行分解，實際上Curvelet變換是由一種特殊的濾波過程和多尺度脊波變換(Multiscale Ridgelet Transform)組合而成：首先對映像進行子帶分解；然後對不同尺度的子帶映像採用不同大小的分塊；最後對每個分塊進行Ridgelet分析。如同微積分的定義一樣，在足夠小的尺度下，曲線可以被看作為直線，曲線奇異性就可以由直線奇異性來表示，因此可以將Curvelet變換稱為“Ridgelet變換的積分”。

        第一代Curvelet的數字實現比較複雜，需要子帶分解、平滑分塊、正規化和Ridgelet分析等一系列步驟，而且Curvelet金字塔的分解也帶來了巨大的資料冗餘量，因此Candès等人於2002年又提出了實現更簡單、更便於理解的快速Curvelet變換演算法，即第二代Curvelet (FastCurvelet transform)。第二代Curvelet與第一代Curvelet在構造上己經完全不同。第一代Curvelet的構造思想是通過足夠小的分塊將曲線近似到每個分塊中的直線來看待，然後利用局部的Ridgelet分析其特性，而二代的Curvelet和Ridgelet理論並沒有關係，實現過程也無需用到Ridgelet，二者之間的相同點僅在於緊支撐、架構等抽象的數學意義。2005年，Candès和Donoho提出了兩種基於第二代Curvelet變換理論的快速離散Curvelet變換實現方法，分別是：非均勻空間抽樣的二維FFT演算法（Unequally-Spaced FastFourier Transform，USFFT）和Wrap演算法（Wrapping-BasedTransform）。對於Curvelet變換，可在網上下載Matlab程式包Curvlab；Curvlab包裡有Curvelet的快速離散演算法的Matlab程式和C++程式。

3、輪廓波(Contourlet)變換

        2002年，MN Do和Martin Vetterli提出了一種“真正”的映像二維表示方法：Contourlet變換，也稱塔型方向濾波器組(Pyramidal Directional Filter Bank, PDFB)。Contourlet變換是利用拉普拉斯塔形分解(LP)和方向濾波器組(DFB)實現的另一種多分辨的、局域的、方向的映像表示方法。

        Contourlet變換繼承了Curvelet變換的各向異性尺度關係，因此，在一定意義上，可以認為是Curvelet變換的另一種快速有效數字實現方式。Contourlet基的支撐區間是具有隨尺度變化長寬比的“長條形”結構，具有方向性和各向異性，Contourlet係數中，表示映像邊緣的係數能量更加集中，或者說Contourlet變換對於曲線有更“稀疏”的表達。Contourlet變換將多尺度分析和方向分析分拆進行，首先由LP(Laplacian pyramid)變換對映像進行多尺度分解以“捕獲”點奇異，接著由方向濾波器組(Directional Filter Bank, DFB)將分布在同方向上的奇異點合成為一個係數。Contourlet變換的最終結果是用類似於輪廓段(Contour segment)的基結構來逼近原映像，這也是所以稱之為Contourlet變換的原因。而二維小波是由一維小波張量積構建得到，它的基缺乏方向性，不具有各向異性。只能限於用正方形支撐區間描述輪廓，不同大小的正方形對應小波的多解析度結構。當解析度變得足夠精細，小波就變成用點來捕獲輪廓。

4、條帶波(Bandelet)變換

        2000年，ELe Pennec和Stephane Mallat在文獻《EL Pennec, S Mallat. Image compression with geometrical wavelets[A].In Proc. OfICIP’ 2000[C]. Vancouver, Canada, September,2000.661-664》中提出了Bandelet變換。Bandelet變換是一種基於邊緣的映像表示方法，能自適應地跟蹤映像的幾何正則方向。Pennec和Mallat認為：在影像處理任務中，若是能夠預Crowdsourced Security Testing道映像的幾何正則性並充分予以利用，無疑會提高映像變換方法的逼近效能。Pennec和Mallat首先定義了一種能表徵映像局部正則方向的幾何向量線；再對映像的支撐區間S進行二進剖分S=∪iΩi，當剖分足夠細時，每一個剖分區間Ωi中最多隻包含映像的一條輪廓線(邊緣)。在所有不包含輪廓線的局部地區Ωi，映像灰階值的變化是一致正則的，因此，在這些地區內不定義幾何向量線的方向。而對於包含輪廓線的局部地區，幾何正則的方向就是輪廓的切線方向。根據局部幾何正則方向，在全域最優的約束下，計算地區Ωi上向量場τ(x1,x2)的向量線，再沿向量線將定義在Ωi的區間小波進行Bandelet化(bandeletization)以產生Bandelet基，以能夠充分利用映像本身的局部幾何正則性。Bandelet化的過程實際上是沿向量線進行小波變換的過程，此即所謂的彎曲小波變換(Warped wavelet transform)。於是，所有剖分地區Ωi上的Bandelet的集合構成了一組L2(S)上的標準正交基。

        Bandelet變換根據映像邊緣效應自適應地構造了一種局部彎曲小波變換，將局部地區中的曲線奇異改造成垂直或者水平方向上的直線奇異，再用普通的二維張量小波處理，而二維張量小波基恰恰能有效處理水平、垂直方向上的奇異。於是，問題的關鍵歸結為對映像本身的分析，即如何提取映像本身的先驗資訊，怎樣剖分映像，局部地區中如何“跟蹤”奇異方向等等。然而，在自然映像中，灰階值的突變不總是對應著物體的邊緣，一方面，衍射效應使得映像中物體的邊緣可能並不明顯地表現出灰階的突變；另一方面，許多時候映像的灰階值劇烈變化，並不是由物體的邊緣而是由於紋理的變化而產生的。所有基於邊緣的自適應方法需要解決的一個共同的問題是如何確定映像中灰階值劇烈變化的地區對應的是物體邊緣還是紋理的變化，實際上這是一個非常困難的問題。大部分基於邊緣的自適應演算法在實際應用中，當映像出現較複雜的幾何特徵時，如Lena映像，在逼近誤差的意義下，效能並不能超過可分離的正交小波分析。在映像的低位元速率編碼中，用來表示非零係數所在位置的開銷遠遠大於用來表示非零係數值的開銷。Bandelet同小波相比有兩個優勢：（1）充分利用幾何正則性，高頻子帶能量更集中，在相同的量化步驟下，非零係數相對減少；（2）得益於四叉樹結構和幾何流資訊，Bandelet係數可以重新排列，編碼時係數掃描方式更靈活。說明Bandelet變換在映像壓縮中的潛在優勢。

        構造Bandelet變換的中心思想是定義映像中的幾何特徵為向量場，而不是看成普通的邊緣集合。向量場表示了映像空間結構的灰階值變化的局部正則方向。Bandelet基並不是預先確定的，而是以最佳化最終的應用結果來自適應地選擇具體的基的組成。Pennec和Mallat給出了Bandelet變換的最優基快速尋找演算法，初步實驗結果表明，與普通的小波變換相比，Bandelet在去噪和壓縮方面體現出了一定的優勢和潛力。

5、楔波(Wedgelet)變換

        在多尺度幾何分析工具中，Wedgelet變換具有良好的“線”和“面”的特性。

        Wedgelet是DavidL.Donoho教授在研究從含噪資料中恢複原映像的問題時提出的一種方向資訊檢測模型。Wedgelet變換是一種簡明的映像輪廓表示方法。使用多尺度Wedgelet對映像進行分段線性表示，能夠根據映像內容自動確定分塊大小，較好地捕捉映像中的線和面的特徵。克服了滑動視窗方法存在的不足。

        多尺度Wedgelet變換由兩部分組成：多尺度Wedgelet分解和多尺度Wedgelet表示。多尺度Wedgelet分解將映像劃分成不同尺度的映像塊，並將每個映像塊投影成各個允許方位的Wedgelet；多尺度Wedgelet表示則根據分解結果，選擇映像的最佳劃分，並為每個映像塊選擇出最優的Wedgelet表示，從而完成映像的地區分割。

        什麼是Wedgelet？說白了，就是在一個映像子塊(dyadic square)畫條線段，把它分成兩個楔塊，每一個楔塊用唯一的灰階值表示。線的位置，兩個灰階值，就近似刻畫了這個子塊的性質。

6、小線（Beamlet）變換

        小線變換（BeamletsTransform）是斯坦福大學的David L.Donoho教授1999年首次提出的，已經得到了初步的應用。由小線變換引入的小線分析（Beamlets Analysis）也是一種多尺度分析，但又不同於小波分析的多尺度概念，可以理解為小波分析多尺度概念的延伸，小線分析以各種方向、尺度和位置的小線段為基本單元來建立小線庫，映像與庫中的小線段積分產生小線變換係數，以小線金字塔方式組織變換係數，再通過圖的形式從金字塔中提取小線變換係數，從而實現多尺度分析。這是一種能較好進行二維或更高維奇異性分析的工具。

        根據小線理論及其研究結果來看，它對於處理強噪背景的映像有無可比擬的優勢。但是小線變換的前期準備工作，如小線字典、小線金字塔掃描這些部分的工作量太過於龐大，不利於研究。如果能將這部分簡化，或者做成固定的模組引用的話，相信小線分析能夠很快的擴充其應用領域。總的來說小線分析的研究還處於初步階段，相關的研究成果也不多，應用研究領域有待於進一步拓展。

        在Beamlet分析中，線段類似於點在小波分析中的地位。Beamlet 能夠提供基於二進組織的線段的局部尺度、位置和方向表示，線的精確定位易實現，且演算法實現不複雜，所以基於Beamlet 的線特徵提取值得研究。

        Beamlet基是一個具有二進特徵的多尺度的有方向的線段集合，二進特徵體現線上段的始終點座標是二進的，尺度也是二進的。

        Donoho 提出了連續Beamlet變換及其在多尺度分析中的應用，為減少計算量及更適於電腦處理，Xiaoming Huo 提出了離散Beamlet變換。

        從Beamlet基的架構得知，每條Beamlet把每個二進方塊分為兩個部分，每個部分都稱為Wedgelet，這兩部分為互補的Wedgelet，從而每個Beamlet對應兩個互補的Wedgelet，使Beamlet基與Wedgelet對應起來Wedgelet變換具有多尺度的特性；還可以看出Wedgelet基是片狀基，與Beamlet的線狀基不同。

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【16】hongbo01.第4章3D-DFB和Surfacelet變換，百度文庫.

來源： http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/42689465

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