Multiple View Geometry in Computer vision 1.1節部分翻譯

標籤：

1.1簡介—無處不在的投影幾何

我們都熟悉射影變換。當我們看一幅圖，我們看到的方形不是方形，或圓形不是圓形。平面立體映射到圖片上的變換是一個投影變換的例子。

因此投影變換時保留的幾何屬性是什麼呢？當然，不是形狀，例如圓形可能呈現出橢圓形。長度也不是，一個圓的兩個垂直半徑通過投影變換被不同程度的被展開。角度、距離、距離比率——都不被保留，通過投影變換幾乎保留了極少的幾何特徵。然而，投影變換保留了平直度（筆直straightness）屬性。事實證明，這是映射最基本的要求，我們可以定義一個平面的投影變換正如任意點在平面上的映射都將保留直線。

為了明白我們為什麼需要投影變換，我們從熟悉的歐式幾何開始。歐式幾何描述了目標物體的角度和形狀，有時歐式幾何在一些主要方面比較麻煩，我們需要創造出一個例外來推出一些基本幾何概念——如交叉線。任意兩條直線（在此我們認為是二維幾何平面）幾乎會相交於一點，但有一對直線不會相交，我們稱之為平行線。通常人們說平行線將會相交於無窮遠處。然而，這並不能令人完全信服，因為它與“無窮並不存在，這隻是一個方便的假設”這一說法衝突。我們可以通過增加在無窮遠處平行線相交的點（稱之為“理想點ideal points”）最佳化歐式幾何平面從而繞開這些衝突並解決無窮遠的問題。

通過在無窮遠處增加這些點，熟悉的歐式幾何空間被轉換為一種新類型的幾何對象，投影空間。這是非常有用的思維方式，因為我們熟悉歐式幾何空間的屬性，例如相關的距離、角度、點、線和入射（incidence）概念。因此投影空間就沒什麼神秘的，它僅僅是歐式幾何空間的擴充，表示兩條直線總會相交於一點，儘管有時神秘點在無窮遠處。

座標：在歐式幾何的二維空間中，一個點被表示為實數的有序對偶(x,y)，我們增加了另外座標擴充成新的三元組座標(x,y,1)，用該三元組座標代表該點原來的座標(x,y)。這樣做是沒關係的，因為我們可以通過這種座標表示方法表示出另一種座標表示方法，只需要添加或者刪除最後一個座標。現在我們需要重點說明為什麼最後一個座標必須標為1——畢竟，其餘兩個座標並不是很受約束。如果座標是(x,y,2)呢？在這裡，我們做一個定義，認為(x,y,1) 與(2x,2y,2)代表同一個點，同時對於非零值k，(kx,ky,k)也代表同一個點。點可以用等價的座標來表示，即兩個等價三元組座標相差公倍數，它們被稱為點的齊次座標。給定一個三元組座標(kx,ky,k)，可以通過除以k值得到原始的二維座標(x,y)。

讀者也許明白儘管(x,y,1)代表點(x,y)，但是沒有點對應三元組座標(x,y,0)。如果我們嘗試除以最後一個座標0，將得到在無窮遠的點(x/0,y/0)。這解釋了點如何在無窮遠處出現，齊次座標的最後一個座標為0表示無窮遠點。

我們知道了如何將二維歐式幾何空間擴充為用齊次向量表示投影空間，便可以很清楚的知道在任意維度都可以做相同的擴充。歐式空間IRn可以被擴充到通過齊次向量表示點的投影空間IPn。無窮遠的點在二維投影空間中形成線，通常稱為無窮遠直線，在三維空間中形成無窮平面。

齊次性：在傳統的歐式幾何中所有的點是一樣的，是沒有區別的，整個空間是齊次的。當座標被增加，表面上看是挑選了一個點作為原點。然而，意識到這僅僅是一種特別的座標表示架構被選擇是非常重要的。我們也可以找到不同的方法表示以不同點作為原點的平面座標。實際上，我們也可以考慮通過座標軸平移或旋轉到不同位置從而在歐式幾何空間中改變座標。我們也可以認為這是空間本身變換和旋轉到不同位置的另一種方式，由此產生的操作被稱為歐氏變換。

一種更為普遍的變換是IRn空間的線性變換，之後通過歐氏幾何變換移動空間原點起源。我們可能認為這是空間平移、旋轉，最後在不同的方向以不同的比例進行線性展開。這種變換結果被稱為仿射變換（affine transformation）。

 

原創，轉寄請註明https://home.cnblogs.com/u/nannan-yhx/

有問題的地方歡迎指正~在此分享給大家。

Multiple View Geometry in Computer vision 1.1節部分翻譯