Mysql索引原理B-Tree, B+Tree

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一：使用b-tree建立索引

B-Tree

為了描述B-Tree，首先定義一條資料記錄為一個二元組[key, data]，key為記錄的索引值，對於不同資料記錄，key是互不相同的；data為資料記錄除key外的資料。那麼B-Tree是滿足下列條件的資料結構：

1. d為大於1的一個正整數，稱為B-Tree的度。

2. h為一個正整數，稱為B-Tree的高度。

3. 每個非葉子節點由n-1個key和n個指標組成，其中d<=n<=2d。

4. 每個葉子節點最少包含一個key和兩個指標，最多包含2d-1個key和2d個指標，分葉節點的指標均為null 。

5. 所有分葉節點具有相同的深度，等於樹高h。

6. key和指標互相間隔，節點兩端是指標。

7. 一個節點中的key從左至右非遞減排列。

8. 所有節點群組成樹結構。

9. 每個指標要麼為null，要麼指向另外一個節點。

10. 如果某個指標在節點node最左邊且不為null，則其指向節點的所有key小於v(key1)，其中v(key1)為node的第一個key的值。

11. 如果某個指標在節點node最右邊且不為null，則其指向節點的所有key大於v(keym)，其中v(keym)為node的最後一個key的值。

12. 如果某個指標在節點node的左右相鄰key分別是keyi和keyi+1且不為null，則其指向節點的所有key小於v(keyi+1)且大於v(keyi)。

圖2是一個d=2的B-Tree。

圖2

由於B-Tree的特性，在B-Tree中按key檢索資料的演算法非常直觀：首先從根節點進行二分尋找，如果找到則返回對應節點的data，否則對相應區間的指標指向的節點遞迴進行尋找，直到找到節點或找到null指標，前者尋找成功，後者尋找失敗。B-Tree上尋找演算法的虛擬碼如下：

 

BTree_Search(node, key){    if(node == null) return null;     foreach(node.key)    {        if(node.key[i] == key) return node.data[i];        if(node.key[i] > key) return BTree_Search(point[i]->node);    }     return BTree_Search(point[i+1]->node);} data = BTree_Search(root, my_key);

關於B-Tree有一系列有趣的性質，例如一個度為d的B-Tree，設其索引N個key，則其樹高h的上限為logd((N+1)/2)，檢索一個key，其尋找節點個數的漸進複雜度為O(logdN)。從這點可以看出，B-Tree是一個非常有效率的索引資料結構。

另外，由於插入刪除新的資料記錄會破壞B-Tree的性質，因此在插入刪除時，需要對樹進行一個分裂、合并、轉移等操作以保持B-Tree性質，本文不打算完整討論B-Tree這些內容，因為已經有許多資料詳細說明了B-Tree的數學性質及插入刪除演算法，有興趣的朋友可以在本文末的參考文獻一欄找到相應的資料進行閱讀。

B+Tree

B-Tree有許多變種，其中最常見的是B+Tree，例如MySQL就普遍使用B+Tree實現其索引結構。

與B-Tree相比，B+Tree有以下不同點：

1. 每個節點的指標上限為2d而不是2d+1。

2. 內節點不儲存data，只儲存key；葉子節點不儲存指標。

圖3是一個簡單的B+Tree示意。

圖3

由於並不是所有節點都具有相同的域，因此B+Tree中分葉節點和內節點一般大小不同。這點與B-Tree不同，雖然B-Tree中不同節點存放的key和指標可能數量不一致，但是每個節點的域和上限是一致的，所以在實現中B-Tree往往對每個節點申請同等大小的空間。

一般來說，B+Tree比B-Tree更適合實現外儲存索引結構，具體原因與外儲存空間原理及電腦存取原理有關，將在下面討論。

帶有順序訪問指標的B+Tree

一般在資料庫系統或檔案系統中使用的B+Tree結構都在經典B+Tree的基礎上進行了最佳化，增加了順序訪問指標。

圖4

4所示，在B+Tree的每個葉子節點增加一個指向相鄰葉子節點的指標，就形成了帶有順序訪問指標的B+Tree。做這個最佳化的目的是為了提高區間訪問的效能，例4中如果要查詢key為從18到49的所有資料記錄，當找到18後，只需順著節點和指標順序遍曆就可以一次性訪問到所有資料節點，極大提到了區間查詢效率。

這一節對B-Tree和B+Tree進行了一個簡單的介紹，下一節結合儲存空間存取原理介紹為什麼目前B+Tree是資料庫系統實現索引的首選資料結構。

為什麼使用B-Tree（B+Tree）

上文說過，紅/黑樹狀結構等資料結構也可以用來實現索引，但是檔案系統及資料庫系統普遍採用B-/+Tree作為索引結構，這一節將結合電腦群組成原理相關知識討論B-/+Tree作為索引的理論基礎。

一般來說，索引本身也很大，不可能全部儲存在記憶體中，因此索引往往以索引檔案的形式儲存的磁碟上。這樣的話，索引尋找過程中就要產生磁碟I/O消耗，相對於記憶體存取，I/O存取的消耗要高几個數量級，所以評價一個資料結構作為索引的優劣最重要的指標就是在尋找過程中磁碟I/O操作次數的漸進複雜度。換句話說，索引的結構組織要盡量減少尋找過程中磁碟I/O的存取次數。下面先介紹記憶體和磁碟存取原理，然後再結合這些原理分析B-/+Tree作為索引的效率。

 

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