電腦負數補碼

 

在電腦系統中，數值一律用補碼來表示（儲存）。
主要原因：使用補碼，可以將符號位和其它位統一處理；同時，減法也可按加法來處理。另外，兩個用補
碼錶示的數相加時，如果最高位（符號位）有進位，則進位被捨棄。
2、補碼與原碼的轉換過程幾乎是相同的。
數值的補碼錶示也分兩種情況：
（1）正數的補碼：與原碼相同。
例如，+9的補碼是00001001。
（2）負數的補碼：符號位為1，其餘位為該數絕對值的原碼按位取反；然後整個數加1。
例如，-7的補碼：因為是負數，則符號位為“1”,整個為10000111；其餘7位為-7的絕對值+7的原碼
0000111按位取反為1111000；再加1，所以-7的補碼是11111001。
已知一個數的補碼，求原碼的操作分兩種情況：
（1）如果補碼的符號位為“0”，表示是一個正數，所以補碼就是該數的原碼。
（2）如果補碼的符號位為“1”，表示是一個負數，求原碼的操作可以是：符號位為1，其餘各位取
反，然後再整個數加1。
例如，已知一個補碼為11111001，則原碼是10000111（-7）：因為符號位為“1”，表示是一個負
數，所以該位不變，仍為“1”；其餘7位1111001取反後為0000110；再加1，所以是10000111。
在“閑扯原碼、反碼、補碼”檔案中，沒有提到一個很重要的概念“模”。我在這裡稍微介紹一下“模”
的概念：
“模”是指一個計量系統的計數範圍。如時鐘等。電腦也可以看成一個計量機器，它也有一個計量範
圍，即都存在一個“模”。例如：
時鐘的計量範圍是0～11，模=12。
表示n位的電腦計量範圍是0～2(n)-1，模=2（n）。【註：n表示指數】
“模”實質上是計量器產生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的
餘數。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算。
例如： 假設當前時針指向10點，而準確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法：
一種是倒撥4小時，即：10-4=6
另一種是順撥8小時：10+8=12+6=6
在以12模的系統中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。
對“模”而言，8和4互為補數。實際上以12模的系統中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特
性。共同的特點是兩者相加等於模。
對於電腦，其概念和方法完全一樣。n位電腦，設n=8， 所能表示的最大數是11111111，若再
加1稱為100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進位系統的
模為2(8)。 在這樣的系統中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就可以
了。把補數用到電腦對數的處理上，就是補碼。

另外兩個概念
一的補碼(one's complement) 指的是正數=原碼,負數=反碼
而二的補碼(two's complement) 指的就是通常所指的補碼

數在電腦中是以二進位形式表示的。
數分為有符號數和無符號數。
原碼、反碼、補碼都是有符號定點數的表示方法。
一個有符號定點數的最高位為符號位，0是正，1是副。

以下都以8位整數為例，

原碼就是這個數本身的二進位形式。
例如
0000001 就是+1
1000001 就是-1

正數的反碼和補碼都是和原碼相同。

負數的反碼是將其原碼除符號位之外的各位求反
[-3]反=[10000011]反=11111100
負數的補碼是將其原碼除符號位之外的各位求反之後在末位再加1。
[-3]補=[10000011]補=11111101
一個數和它的補碼是可逆的。

為什麼要設立補碼呢？

第一是為了能讓電腦執行減法：
[a-b]補=a補+（-b）補

第二個原因是為了統一正0和負0
正零：00000000
負零：10000000
這兩個數其實都是0，但他們的原碼卻有不同的表示。
但是他們的補碼是一樣的，都是00000000
特別注意，如果+1之後有進位的，要一直往前進位，包括符號位！（這和反碼是不同的！）
[10000000]補
=[10000000]反+1
=11111111+1
=(1)00000000
=00000000(最高位溢出了，符號位變成了0）

有人會問
10000000這個補碼錶示的哪個數的補碼呢？
其實這是一個規定，這個數表示的是-128
所以n位補碼能表示的範圍是
-2^(n-1)到2^(n-1)-1
比n位原碼能表示的數多一個

又例：
1011
原碼：01011
反碼：01011 //正數時，反碼＝原碼
補碼：01011 //正數時，補碼＝原碼

-1011
原碼：11011
反碼：10100 //負數時，反碼為原碼取反
補碼：10101 //負數時，補碼為原碼取反＋1

0．1101
原碼：0.1101
反碼：0.1101 //正數時，反碼＝原碼
補碼：0.1101 //正數時，補碼＝原碼

-0．1101
原碼：1.1101
反碼：1.0010 //負數時，反碼為原碼取反
補碼：1.0011 //負數時，補碼為原碼取反＋1

總結：
在電腦內，定點數有3種標記法：原碼、反碼和補碼

所謂原碼就是前面所介紹的二進位定點標記法，即最高位為符號位，“0”表示正，“1”表示負，其餘位表示數值的大小。

反碼錶示法規定：正數的反碼與其原碼相同；負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。

補碼錶示法規定：正數的補碼與其原碼相同；負數的補碼是在其反碼的末位加1。

1、原碼、反碼和補碼的表示方法

（1）     原碼：在數值前直接加一符號位的標記法。

例如：       符號位   數值位

[+7]原=    0     0000111   B

[-7]原=    1     0000111   B

      注意：a. 數0的原碼有兩種形式：

                    [+0]原=00000000B     [-0]原=10000000B

                b. 8位二進位原碼的表示範圍：-127～+127

2）反碼：

      正數：正數的反碼與原碼相同。

      負數：負數的反碼，符號位為“1”，數值部分按位取反。

例如： 符號位    數值位

      [+7]反=   0    0000111   B

      [-7]反=   1    1111000   B

注意：a. 數0的反碼也有兩種形式，即

               [+0]反=00000000B

               [- 0]反=11111111B

           b. 8位二進位反碼的表示範圍：-127～+127

3）補碼的表示方法

1）模的概念：把一個計量單位稱之為模或模數。例如，時鐘是以12進位進行計數迴圈的，即以12為模。在時鐘上，時針加上（正撥）12的整數位或減去（反撥）12的整數位，時針的位置不變。14點鐘在捨去模12後，成為（下午）2點鐘（14=14-12=2）。從0點出發逆時針撥10格即減去10小時，也可看成從0點出發順時針撥2格（加上2小時），即2點（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射為+2。由此可見，對於一個模數為12的迴圈系統來說，加2和減10的效果是一樣的；因此，在以12為模的系統中，凡是減10的運算都可以用加2來代替，這就把減法問題轉化成加法問題了（註：電腦的硬體結構中只有加法器，所以大部分的運算都必須最終轉換為加法）。10和2對模12而言互為補數。

同理，電腦的運算組件與寄存器都有一定字長的限制（假設字長為8），因此它的運算也是一種模運算。當計數器計滿8位也就是256個數後會產生溢出，又從頭開始計數。產生溢出的量就是計數器的模，顯然，8位位元，它的模數為2^8=256。在計算中，兩個互補的數稱為“補碼”。

2）補碼的表示： 正數：正數的補碼和原碼相同。

     負數：負數的補碼則是符號位為“1”，數值部分按位取反後再在末位（最低位）加1。也就是“反碼+1”。

例如：   符號位 數值位

[+7]補=    0    0000111   B

       [-7]補=    1    1111001   B

補碼在微型機中是一種重要的編碼形式，請注意：

a.採用補碼後，可以方便地將減法運算轉化成加法運算，運算過程得到簡化。正數的補碼即是它所表示的數的真值，而負數的補碼的數值部份卻不是它所表示的數的真值。採用補碼進行運算，所得結果仍為補碼。

b.與原碼、反碼不同，數值0的補碼只有一個，即        [0]補=00000000B。

c.若字長為8位，則補碼所表示的範圍為-128～+127；進行補碼運算時，應注意所得結果不應超過補碼所能表示數的範圍。