網路流小結

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第一個問題:
費用流中，原圖無負環的前提上，為什麼增廣時的最短路演算法不會陷入負環，即為什麼增廣後的殘圖不會出現負環？

其實這是一個很淺顯的問題，可是我糾結了好長時間，233。

首先假設殘圖會出現負環，則其出現負環的原因必然是增廣後某些反向弧被加入的殘圖中。

而增廣路肯定是無環的，所以這些反向弧只可能是負環的一部分。

設這些反向弧組成的路徑為P，P上各反向弧對應的邊組成的路徑為P‘，負環的另一部分組成的路徑為Q。

而P成為負環的一部分的前提是P的權值和的絕對值大於Q的權值和。

而上述前提的前提是 P‘ 的權值和大於Q的權值和。

顯然，上述前提與我們要尋找關於權值的最短增廣路是相矛盾的。

因為如果上述前提成立，那麼我們拿Q來替換P‘會得到一條關於權值的更短的增廣路。

所以，在原圖無負環的前提上，增廣後的殘圖中是不會出現負環的。