NEU 1440 The minimum square sum (平方剩餘和歐拉準則)，neuminimum

NEU 1440 The minimum square sum (平方剩餘和歐拉準則)，neuminimum

若p=2或p=4*k+1 則p可以表成兩平方數的和的形式 (歐拉和費馬已證明，並且有求的方法) 所以答案是p

若p=4*k+3 設a^2=n(mod p) (n!=0)  可以證明不存在b,b^2=p-n(mod p) 即若n是p的平方剩餘 則p-n不是p的平方剩餘

證明:因為a^2=n(mod p) 所以由歐拉準則 得n^((p-1)/2)=1(mod p)

若b^2=-n(mod p) 那麼(-n)^((p-1)/2)=1(mod p)

左邊把符號提出來 得(-1)^((p-1)/2)*n^((p-1)/2)

因為p是4*k+3型的 所以(p-1)/2是奇數 所以左邊不可能等於1 假設與事實矛盾所以

因此a^2=0(mod p) b^2=0(mod p) 所以答案是2*p*p

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){    long long p;    while(scanf("%lld",&p)==1)    {        if(p==2||p%4==1)            printf("%lld\n",p);        else            printf("%lld\n",p*p*2);    }    return 0;}