全排列演算法的非遞迴實現與遞迴實現的方法(C++)

（一）非遞迴全排列演算法
基本思想是:
1.找到所有排列中最小的一個排列P.
2.找到剛剛好比P大比其它都小的排列Q,
3.迴圈執行第二步,直到找到一個最大的排列,演算法結束.
下面用數學的方法描述:
給定已知序列 P = A1A2A3An ( Ai!=Aj , (1<=i<=n , 1<=j<=n, i != j ) )
找到P的一個最小排列Pmin = P1P2P3Pn 有 Pi > P(i-1) (1 < i <= n)
從Pmin開始,總是目前得到的最大的排列為輸入,得到下一個排列.
方法為:
1.從低位到高位（從後向前），找出“不符合趨勢”的數字。即找到一個Pi，使Pi < P(i+1)。
若找不到這樣的pi，說明我們已經找到最後一個全排列，可以返回了。
2.在 P(i+1)P(i+2)Pn 中,找到一個Pj,便得 Pj"剛剛好大於"Pi.
("剛剛好大於"的意思是:在 P(i+1)P(i+2)Pn 中所有大於Pi的元素構成的集合中最小的元素.)
3.交換 Pi , Pj 的位置.注意:此處不改變i和j的值,改變的是Pi和Pj.
4.交換後， P1P2P3Pn 並不是準確的後一個排列。因為根據第1步的尋找，我們有P(i+1) > P(i+2) > . > Pn
即使進行了Pi和Pj的交換,這仍然是這一部分最大的一個排列。將此排列逆序倒置(變成最小的排列)即為所求的下一個排列.
5.重複步驟1-4,直到步驟1中找不到“不符合趨勢”的數字. 複製代碼 代碼如下://交換數組a中下標為i和j的兩個元素的值
void swap(int* a,int i,int j)
{
a[i]^=a[j];
a[j]^=a[i];
a[i]^=a[j];
}

//將數組a中的下標i到下標j之間的所有元素逆序倒置
void reverse(int a[],int i,int j)
{
for(;i<j;++i,--j)
{
swap(a,i,j);
}
}

void print(int a[],int length)
{
for(int i=0;i<length;++i)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
}

//求取全排列，列印結果
void combination(int a[],int length)
{
if(length<2) return;

bool end=false;
while(true)
{
print(a,length);

int i,j;
//找到不符合趨勢的元素的下標i
for(i=length-2;i>=0;--i)
{
if(a[i]<a[i+1]) break;
else if(i==0) return;
}

for(j=length-1;j>i;--j)
{
if(a[j]>a[i]) break;
}

swap(a,i,j);
reverse(a,i+1,length-1);
}
}

（二）遞迴演算法
令E= {e1 , ..., en }表示n 個元素的集合，我們的目標是產生該集合的所有相片順序。令Ei 為E中移去元素i 以後所獲得的集合，perm (X) 表示集合X 中元素的相片順序，ei . p e r m(X)表示在perm (X) 中的每個相片順序的前面均加上ei 以後所得到的相片順序。例如，如果E= {a, b, c}，那麼E1= {b, c}，perm (E1 ) = ( b c, c b)，e1 .perm (E1) = (a b c, a c b)。對於遞迴的基本部分，採用n = 1。當只有一個元素時，只可能產生一種相片順序，所以perm (E) = ( e)，其中e 是E 中的唯一元素。當n > 1時，perm (E) = e1 .perm (E1 ) +e2 .p e r m(E2 ) +e3.perm (E3) + ⋯ +en .perm (En )。這種遞迴定義形式是採用n 個perm (X) 來定義perm (E), 其中每個X 包含n- 1個元素。至此，一個完整的遞迴定義所需要的基本部分和遞迴部分都已完成。
當n= 3並且E=（a, b, c）時，按照前面的遞迴定義可得perm (E) =a.perm ( {b, c} ) +b.perm ( {a,c} ) +c.perm ( {a, b} )。同樣，按照遞迴定義有perm ( {b, c} ) =b.perm ( {c} ) +c.perm ( {b}), 所以a.perm ( {b, c} ) = ab.perm ( {c} ) + ac.perm ( {b}) = a b . c + ac.b = (a b c, a c b)。同理可得b.perm ( {a, c}) = ba.perm ( {c}) + bc.perm ( {a}) = b a . c + b c . a = (b a c, b c a)，c.perm ( {a, b}) =ca.perm ( {b}) + cb.perm ( {a}) = c a . b + c b . a = (c a b, c b a)。所以perm (E) = (a b c, a c b, b a c, b c a,c a b, c b a)。注意a.perm ( {b, c} )實際上包含兩個相片順序：abc 和a c b，a 是它們的首碼，perm ( {b, c} )是它們的尾碼。同樣地，ac.perm ( {b}) 表示首碼為a c、尾碼為perm ( {b}) 的相片順序。程式1 - 1 0把上述perm (E) 的遞迴定義轉變成一個C++ 函數，這段代碼輸出所有首碼為l i s t [ 0：k-1], 尾碼為l i s t [ k：m] 的相片順序。調用Perm(list, 0, n-1) 將得到list[0: n-1] 的所有n! 個相片順序，在該調用中，k=0, m= n - 1，因此相片順序的首碼為空白，尾碼為list[0: n-1] 產生的所有相片順序。當k =m 時，僅有一個尾碼l i s t [ m ]，因此list[0: m] 即是所要產生的輸出。當k<m時，先用list[k] 與l i s t [ k：m] 中的每個元素進行交換，然後產生list[k+1: m] 的所有相片順序，並用它作為list[0: k] 的尾碼。S w a p是一個inline 函數，它被用來交換兩個變數的值複製代碼 代碼如下:template <class T>
inline void Swap(T& a, T& b)
{
// 交換a和b
T temp = a; a = b; b = temp;
}

template<class T>
void Perm(T list[], int k, int m)
{
//產生list [k：m ]的所有相片順序
int i;
if (k == m)
{
//輸出一個相片順序
for (i = 0; i <= m; i++)
cout << list [i];
cout << endl;
}
else // list[k：m ]有多個相片順序
{
// 遞迴地產生這些相片順序
for (i=k; i <= m; i++)
{
Swap (list[k], list[i]);
Perm (list, k+1, m);
Swap (list [k], list [i]);
}
}
}