非重複隨機序列產生演算法

最近編程時遇到一個問題：有一組對象，要求隨機地訪問其中每一個對象，並且每個對象只訪問一次。如果我們將訪問順序轉換為一組整數序列，那麼這就是一個關於“非重複隨機序列產生演算法”的問題。

本文將探討這個問題的多種解法，並給出一個非常高效的演算法。

 

【問題描述】：有一個自然數N，希望得到一個整型序列，該序列包含N個整數，從0到N-1，呈隨機分布狀態，且不重複。

 

【問題分析】：產生隨機數是簡單的，關鍵是，如何保證不重複呢？一般來說，我們有兩種思路：

  思路1：我們不能保證每次產生的隨機數都是不重複的，但是可以在產生隨機數之後，判斷這個數值是否已經產生過了，如果已經產生過了，那就重建一個，直到產生一個新的數值。

  思路2：每產生一個隨機數之後，就調整隨機數的建置規則，將已經產生過的數值排除掉，從而保證每次產生的隨機數一定是新的。

接下來，我們將根據這兩種思路，給出幾種演算法，並分析每種演算法的複雜度。

 

【演算法1】

“思路1”是絕大多數程式員的思維。如果在項目開發過程中遇到這個問題，我相信大部分程式員一定會這麼做：建立一個List，用於儲存隨機產生的數值，每次插入時，先判斷這個數值是否已經在List中存在了，如果已經存在，則重建。C#代碼如下：

/// <summary>/// 產生一個非重複的隨機序列。/// </summary>/// <param name="count">序列長度。</param>/// <returns>序列。</returns>private static List<int> BuildRandomSequence1(int length) {    List<int> list = new List<int>();    int num = 0;    for (int i = 0; i < length; i++) {        do {            num = random.Next(0, length);        } while (list.Contains(num));        list.Add(num);    }    return list;} 

上述演算法簡單易懂，時間複雜度是O(N²) ，空間複雜度是O(N)。該演算法的局限在於，每產生一個隨機數，都要遍曆List，判斷是否已經存在，這就導致時間複雜度太高。那麼，如何改善這個演算法呢？請繼續往下看。

 

【演算法2】

我們知道，遍曆List的時間複雜度是O(N)，訪問Hashtable的時間複雜度是O(1)。所以，如果我們使用Hashtable來判斷是否重複，就可以將整個演算法的時間複雜度從O(N²)降至O(N)，而空間複雜度仍然基本保持在O(N)。

C#代碼如下：

/// <summary>/// 產生一個非重複的隨機序列。/// </summary>/// <param name="count">序列長度。</param>/// <returns>序列。</returns>private static Hashtable BuildRandomSequence2(int length) {    Hashtable tab = new Hashtable(length);    int num = 0;    for (int i = 0; i < length; i++) {        do {            num = random.Next(0, length);        } while (tab.Contains(num));        tab.Add(num, null);    }    return tab;}

經過測試，效能確實有了非常大的提升。但是，有一個問題依然存在：隨著Hashtable中的數值越來越多，重複機率也會越來越高，這一點很容易理解。如何才能降低重複機率、進一步提高演算法效能呢？不妨嘗試一下“思路2”。

 

【演算法3】

“思路2”的基本思想是：利用隨機數的產生特點，將已經產生的數值，排除在隨機區間之外，這樣就可以確保下次產生的隨機數一定是新的。具體來說，我們可以這樣做：

首先，建立一個長度為N的數組array，初始值是0…N-1。

然後，產生一個隨機數x1=random.Next(0, N)，則x1∈[0,N)。取num1=array[x1]作為序列中的第一個成員。接下來是關鍵步驟：將num1和array[N-1]交換。

然後，產生下一個隨機數x2= random.Next(0, N-1)，則x2∈[0,N-1)。由於num1已經被交換到了array[N-1]，而x2<N-1，所以num2=array[x2]一定不等於num1，從而避免了重複。然後將num2和array[N-2]交換。

按照上述方法，可以得到序列中第三、第四…第N個成員。最後得到的array就是一個非重複的隨機序列。以下是整個計算過程的圖形示範（假設N=5）：

C#代碼如下：

/// <summary>/// 產生一個非重複的隨機序列。/// </summary>/// <param name="count">序列長度。</param>/// <returns>序列。</returns>private static int[] BuildRandomSequence3(int length) {    int[] array = new int[length];    for (int i = 0; i < array.Length; i++) {        array[i] = i;    }    int x = 0, tmp = 0;    for (int i = array.Length - 1; i > 0; i--) {        x = random.Next(0, i + 1);        tmp = array[i];        array[i] = array[x];        array[x] = tmp;    }    return array;}

經過分析，演算法3的時間和空間複雜度都是O(N)，效能非常高。通過巧妙的交換位置的方法，可以確保每次得到的數值一定是不重複的，所以不用去判斷是否重複。而且，使用數組來儲存序列，比List和Hashtable效能更好。

上述演算法產生的隨機序列是從0到N-1，如果我們指定了別的區間範圍呢？例如，要求產生一個非重複的隨機序列，範圍是[low, high]。實現起來非常簡單，只要把演算法3稍微改一下就可以了。C#代碼如下：

/// <summary>/// 產生一個非重複的隨機序列。/// </summary>/// <param name="low">序列最小值。</param>/// <param name="high">序列最大值。</param>/// <returns>序列。</returns>private static int[] BuildRandomSequence4(int low, int high) {    int x = 0, tmp = 0;    if (low > high) {        tmp = low;        low = high;        high = tmp;    }    int[] array = new int[high - low + 1];    for (int i = low; i <= high; i++) {        array[i - low] = i;    }    for (int i = array.Length - 1; i > 0; i--) {        x = random.Next(0, i + 1);        tmp = array[i];        array[i] = array[x];        array[x] = tmp;    }    return array;}

為了驗證上述三種演算法的實際效能，我們以產生隨機序列所耗的平均時間為標準，進行了實際測試。

測試環境為：Windows7/ CPU 1.6GHZ /VS2008/C#。測試結果為：

序列長度	演算法1	演算法2	演算法3
100	15ms	<1ms	<1ms
1000	46ms	<1ms	<1ms
10000	4430ms	31ms	<1ms

 

 

 

 

 

 

 

【總結】

本文演算法3的關鍵方法是：在現有數組基礎上，通過不斷地交換位置，來巧妙地達到時間和空間的最優。

其實，一些經典排序演算法採用的也是這個思想，例如：冒泡排序、快速排序、堆排序，等等。

演算法3也可以理解為一種隨機排序演算法，可以應用在很多場合，例如：洗牌、抽籤等。