編號連續的球

intfree ()     2001-10-30 18:49:59 在 專題開發/技術/項目 / 資料結構與演算法 提問
 
  一道中學競賽的題目：  
   
  有L個球，1..L編號，兩個人輪流從中取球  
  每人每次可以（必須）取“編號連續的”a個或b個或c個球  
  直到不能取為止，最後一個取球的人獲勝  
   
  給出a,   b,   c,   L，問先取者有無必勝策略  
   
  其中1<=a,b,c<=L<=500，  
  a,b,c都為偶數且L為奇數，或者a,b,c都為奇數且L為偶數  
   
  我的一些結論：  
  若a=b=c，則  
  a<=L<3a-1時，先取必勝  
  L=3a-1時，後取必勝  
  3a<=L<5a-1時，先取必勝  
  L=5a-1時，後取必勝  
  5a<=L<9a-3時，先取必勝  
  L=9a-3時，後取必勝  
   
  L更大我就不知道了；若a,b,c不相等，我也就不知道怎麼做了。  
   
  我的一個同學說，正確的演算法可以在64K記憶體，1s內出解，可我怎麼也想不出。  
   
  懇請各位高手幫忙。  

  
 mathe   ()   回複於 2001-11-05 09:17:09  得分 0
//I   have   solved   the   problem   now,   the   speed   is   very   quick.  
   
  #define   M   512  
   
  ASSERT(L<M);  
  ASSERT(a>0&&b>0&&c>0);  
   
  int   m[M];  
  for(i=0;i<=L;i++){  
        int   n[M];  
        memset(n,0,sizeof(n));  
        if(i-a>=0){  
            for(j=0;j<=(i-a)/2;j++)n[m[j]^m[(i-a-j)]]=1;  
        }  
        if(i-b>=0){  
            for(j=0;j<=(i-b)/2;j++)n[m[j]^m[(i-b-j)]]=1;  
        }  
        if(i-c>=0){  
            for(j=0;j<=(i-c)/2;j++)n[m[j]^m[(i-c-j)]]=1;  
        }  
        for(j=0;j<M;j++)  
            if(n[j]==0)break;  
        m[i]=j;  
  }  
   
  if(m[L]==0){  
      printf("The   first   player   will   lost/n");  
  }  
  else  
  {  
        printf("The   first   player   will   win/n");  
  }
 mathe   ()   回複於 2001-11-05 09:39:52  得分 15
先手在m[L]<>0時，必勝的策略是：  
  在任何一次對手選擇（或者第一次）以後，  
  剩餘為k組連續資料，長度分別為a(1),a(2),...,a(k).  
  這時必有m[a(1)]^m[a(2)]^...^m[a(k)]==u!=0.    
  設u的最高位元位為s,即pow(2,s)<=u<pow(2,s+1),必然有i(1<=i<=k)使得(m[a(i)]&(1<<s))!=0,(即至少有一個對應的m,第s為不為0。)   所以m[a(i)]>(m[a(i)]^u).  
  第i組資料長度為a(i),那麼我們必定可以有一種方案使得使用這個方案後,第i組新產生兩組  
  數（或一組）對應m的異或為(m[a(i)]^u)。也就是可以將是變換後  
  m[a(1)]^m[a(2)]^...^m[a(k)]==0.  
   
  我們需要證明的是對於狀態0，任意取球後狀態非零；而非零的狀態，總可以有取球方案將狀態恢複的0。  
  通過上面的程式定義的狀態有下面的性質，如果狀態i<狀態j,那麼總有取球方案，從狀態j變到狀態i.  
   
  在得出上面的性質中，我還需要證明一個比較有趣的數學題：  
  如果i<>j,則  
  任何小於i^j的資料都出現在先面的集合中  
  {i^0,i^1,...,i^(j-1),   j^0,j^1,...,j^(i-1)}  
  當然，i^j   不出現在這個集合中。