數論-基本概念篇

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一：整除與約數

　　整除：若整數a除以非零整數b，商為整數，且餘數為0，我們就說a能被b整除（或者說b整除a），記作b|a。

　　約數：如果d|a且d>=0，則稱d是a的約數。

二：素數與合數

　　素數：如果一個整數a>1且只能被平凡數1和它自身所整除，則稱這個數是素數（質數）。

　　合數：如果一個整數a>1且不是素數，則稱這個數是合數。

　　注意：1既不是合數也不是質數，2是最小的素數。（有些OJ的題目中會把1當作質數，有些會把2當作合數）。

三：除法定理、餘數與模運算

　　除法定理：對於任何整數a和任何整數n，存在唯一整數q和r，滿足0<<r<n且a = q*n+r；稱q=⌊a/n⌋為除法的商，值r = a mod n為除法的餘數。n|a若且唯若a mod n = 0.

　　模運算：對任意整數a和任意整數n，a mod n的值就是a/n的餘數。a mod n = a - n*⌊a/n⌋，可知0<=a mod n < n。

　　若a mod n = b mod n，則記 a ≡ b（modn)，稱模n時a等價於b。即a與b除以同一個數時有相同的餘數。等價地，a≡b（modn）若且唯若n時b-a的一個因子。

四：公約數與最大公約數

　　公約數：如果d是a的約數並且d也是b的約數，則稱d是a與b的公約數。

　　公約數的一條重要性質是：d|a 且 d|b 蘊涵著d|(a+b) 且 d|(a-b)，更一般地，對於任意整數x和y，有d|a 且 d|b 蘊涵著 d|(ax+by)

　　最大公約數：兩個不同時為0的整數a與b的公約數中最大的數成為最大公約數，記作gcd(a,b)。定義gcd(0，0）= 0。　　

　　GCD函數的基本性質：gcd(a,b)=gcd(b,a)、gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)、gcd(a,ka)=|a|，k屬於整數。

　　　　　　　　　　　　gcd(a,b)=gcd(-a,b)、gcd(a,0)=|a|

　　定理：如果任意整數a和b都不為0，則gcd(a,b)是a與b的線性組合集{ax+by：x，y∈Z}中的最小元素。

　　

證明：設s是a與b的線性組合集合中的最小正元素，並且對某個x，y∈Z，有s=ax+by。設q=⌊a/s⌋，則a mod s = a-q*s = a-q(ax+by) = a(1-qx)+b(-qy)。因此amods也是a與b的一個線性組合。s是這個線性組合中的的最小正數，由於0<=amods<s，故有a mod s = 0。因此s|a，類似地,可得到s|b.因此s是a與b的公約數，所以gcd(a,b)>=s。因為gcd(a,b）能同時被a和b整除，並且s是a與b的一個線性組合，所以gcd(a,b)|s。但由於gcd(a,b)|s和s>0，因此gcd(a,b)<=s。將上面已證明的gcd(a,b)>=s與gcd(a,b)<=s結合起來，得到gcd(a,b)=s。因此證明了s是a與b的最大公約數。

推論：對任意整數a與b，如果d|a並且d|b，則d|gcd(a,b)。

　　　對所有整數a和b以及任意非負整數n，有gcd(an,bn)=ngcd(a,b)。

　　　對於任意整數n,a,b，如果n|ab且gcd(a,n)=1,則n|b。

五：互質數

　　如果兩個整數a與b只有公約數1，即gcd(a,b)=1，則a與b稱為互質數。

　　定理：對於任意整數a，b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1,則gcd(ab,p)=1。

 

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