數字、基數及表示

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數字、基數及表示整數

整數是這些熟悉的數字 …, -1, 0, +1, +2, …。整數值也被稱作是‘完整的’，並且分為正數（1到無窮大），負數（-1到負無窮大），零（0），非負數（零或正數）和少有的非正數（零或負數）。正數和非負數間的差別通常非常重要，例如C語言典型地用非負數作為數組下標，明確地包括零。

基數

我們書寫整數（和其它數字）時通常使用‘基數10’或‘十進位’算術。這是一種位置符號，每一個‘位置’的值比下一個大十倍。最後一個數字是一的個數，倒數第二個是10的個數，依此類推：因此數字序列593表示‘五個百，九個十和三個一’或者五百九十三。算數上我們有一個基數‘b’（典型地為一個正數，這裡是10）和‘n’個數字序列an-1, an-2, …, a1, a0。這表示數值an-1*bn-1 + an-2*bn-2 + … + a1*b1 + a0*b0。（注意b1 = b及b0 = 1；我們可以簡化這些，但是這種對稱顯得很好。）

注意在這種數學符號中，數字前面允許有多餘的零，但不影響數值：0042有零個千，零個百，四個十和兩個一，這個42是一樣的。通常我們去掉前置字元為零，因為它們不會帶來任何有用的東西。

現代電腦內部使用二進位，或基數2。數字序列100110表示1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20或32 + 4 + 2或38。你可能需要熟悉二進位，至少一些較小的二的冪（1，2，4，8，16，32，64，128，256，等等）。

作為一個C程式員，你還需要熟悉另外兩種基數：8（也成為‘八進位’）和16（‘十六進位’） 大於10的基數有一個符號表示的問題：單個的數字會超過9。C語言使用字母A（大小寫均可）表示10，B表示11，直到F。

在C語言中表示數字四十二，你可以像通常一樣用十進位，或者八進位、十六進位。在八進位中，42需要5個8和兩個1，所以我們寫成52而不是42。在十六進位中，我們需要兩個十六和十個1，所以我們寫成2A。當然如果你寫‘52’，人們可能以為你是指五十二而不是四十二；像表示數字序列一樣，我們需要一些方式清楚表示基數。在數學中我們使用腳標：4210 = 528 = 2A16；一些組合語言使用尾碼而不是腳標；C語言使用首碼。為了表示一個數字是十六進位，我們在其前面置上數字零和一個X（大小寫均可）。為了表示它是八進位，我們在其前面置上數字零。因此在C語言中，42、052和0X2A都表示抽象數‘四十二’。

注意，數字本身沒有改變，因為我們使用不同基數對它進行表示。這個事實是非常重要的：數字本身是一個抽象；不同的標記法是對抽象的具體展示。

二進位（以2為基數）數位一個有用特性是，每位元字總是0或1。零乘任何數字為零，一乘任何其它數字就是那個數，所以只有1‘算數’，只有出現1的位置起作用。2的任何冪包括或不包括。當進位時，我們發現低位元字簡單的來回跳動，高位元字在相鄰的低位從1變為0時才跳進：0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, …。對於給定的位元字，最大可能的值是它們都是1時（最小值自然是都為0）。而且這個最大值簡單地比2的下一個冪少1：例如，112 = 310，只比1002 = 410少1。如果你記住2的一些冪值，你可以立即說出表示一個給定的數值需要多少個二進位位。例如，因為211是2048及212是4096，一個大於或等於2048但是小於4096的整數，需要11位來表示它。（當然多餘的位也是允許的：在前面的多餘的位需要為0。）

C語言缺乏直接輸出位元的能力，但是八進位和十六進位看起來足夠了。

整數標記法

今天的電腦用二進位儲存數值。它用這種方式易於表示非負整數，直到一個上限。如果一台電腦是8位位元組，並且使用4個位元組儲存一個整數，它有32個有效位。如果我們再去到上面的位置標記法，能馬上看出它能表示數值到231 + 230 + … + 21 + 20，或232-1，或（用十進位）4,294,967,295.

這對於非負整數不錯，但是對於負數呢？隨著時間增長，許多方案被用於二進位電腦中表示負整數。概念上最簡單的一個可能是‘符號-大小’（原碼），也稱‘有符號大小’。其餘的兩個稱為‘一的補碼’（補碼）和‘二的補碼’（反碼）。這三個方法在C語言中都是允許的。在這三種方法中，我們用一位表示符號，用其餘的位表示數值。選擇哪一位不重要，為了符號上的方便，我們傾向選擇‘第一’位（這在後來當我們考慮機器的‘位元組順序’時，導致一些有趣的對抗，因為哪一位是‘第一’，依賴於你查看位和位元組的位置——在低位還是高位一端）。

在符號大小表示中，你簡單地從表示數位所有‘數值’位獲得數位數值，如果符號位有效，稱它為負數。因此數字1（表示符號），011（表示數值）的值是310，並且是負數，表示‘負三’。為了表示正數，我們關閉符號位，得到+3。這個方法的一個缺點是，存在兩個零：常規的或‘表示正數的’零（符號位和數值位都是0），和一個‘負’零（數值位都是0，符號位被置上為1）。一個更嚴重的缺陷是，這種表示在計算時更複雜，拖慢電腦。在我們相加兩個數之前，必須注意它們是否有相同的符號。如果不是，我們必須減去負數，而不僅僅是相加。（當然這給我們一個機會去發現溢出，但就像我們一再從計算中看到的，更重要的是儘快得到一個答案，即使它是錯的。）

一的補碼方法避免了第二種缺陷。在這裡，為了表示一個負數，我們再次置上符號位，但這次我們也反轉所有數值位（把1變為0，反之亦然）。現在為表示負三，我們設定符號位，但讓數值位為空白，給出1（表示符號位），100（表示數值）。當我們相加兩個數，我們需要一個‘迴圈舍入進位’裝置，把進位跳過符號位再加入數值位。

注意觀察在我們相加-3加+2，-3加-1，-3加+4，這是如何工作的（下面的點表示需相加的進位）：

     1100 (-3)   + 0010 (+2)     ----     1110 (-1)     .  .     1100 (-3)   + 1110 (-1)     ----     1011 (-4)     .  .     1100 (-3)   + 0100 (+4)     ----     0001 (+1)

前兩種情況的和是負數，第三種是正數。第一次加法中沒有進位，所以求和很容易。第二次加法中，兩個最大數值位為1產生一個進位，它被加至兩個符號位（兩個開始時已被置上），所以最終的符號位仍被置上。兩個符號位相加時也產生一個進位，並且這個進位被送至末尾，加至最低數值位（在此例中兩個都是0），所以最後的和也置低位為1。最後的例子類似：兩個最大數值位產生一個進位後為0。但這次進位於（一個）符號位相加，得到另一個進位但符號位被設為0。符號位產生的進位被送至末尾，加回最低位。

已看到對零有兩種表示：普通的，通常的零；以及符號位（實際上每一位）被置上的‘負零’。這個值稍較少見，並且在大量使用一的補碼的電腦上，使用‘-0’的企圖會（有時可供選擇）在運行時被捕捉，並因此捕捉使用未被設定‘正確’值的變數的企圖，通過預先用‘全1位’簡單地填充所有記憶體。（一個類似完全以另一種形式的竅門，在今天的電腦上被發現。）

在此，再看幾個使用一的補碼算術的求和例子。注意如果兩方進行相加的低位元值位都是1，它們的和是0（向下一個數值位帶入一個進位），但是一個迴圈舍入進位會導致低位再變為1：

     . ...     11001 (-6)   + 11011 (-4)     -----     10101 (-10)

（我們必須總共使用五個位——或者在這裡是四次數值位） 類似如果只有一個低位為1，它們的和是1（沒有進位），但是這次一個迴圈舍入進位導致一個進位，發生一連鎖反應。最壞的情況在把‘負零’加到一個值時發生：

     .....     00010 (+2)   + 11111 (-0)     -----     00010 (+2)

特別地，把-0與+0以外的任何數得到原值，然而-0加+0得到-0。

使用五個位，允許的範圍是-15到+15：

     .....     10111 (-8)   + 10000 (-15)     -----     01000 (+8)

在此，我們真的得到錯誤的答案，不是因為一的補碼，因為實際上結果放不下了：它應該是-23。

最後一種表示負整數的方法是二的補碼，實際上也是目前為止最常見的。（順便提及，參看Knuth的著作瞭解關於一的補碼和二的補碼的縮寫替代不同的理由。） 這個方法也很像一的補碼，除了符號位被置上時，我們跳過其餘的值並對它們加1，以得到被表示的值。因此當-3在四位一的補碼是1100時，它在二的補碼變成1101。額外的步驟——‘加1’——避免了迴圈舍入加一。現在我們可以相加任何兩個值，簡單地拋棄符號位的進位得到和：

     .     11010 (-6)   + 11100 (-4)     -----     10110 (-10)

這表示我們能使用與相加不帶正負號的整數同樣的機器指令，來相加有符號整數。這不是使用一的補碼的情況：考慮第一個-6加-4得到-10的例子。迴圈舍入進位產生正確的結果（-10），但是如果兩個五位序列是不帶正負號的整數，它們的值分別是25和27，其和為52，或者用二進位表示為110100。當然這個值需要六位而不是五位，但是我們之前得到低位是10101而不是10100。在我們的第二個例子中，當我們相加-6和-4，它們的無符號相等表示不是25和27，而是26和28，它們的和是54，或用二進位表示為110110。現在我們得到正確的地位（和一個進位，它表示結果太大，不能放在無符號的五位序列）。這種計算方法用來實現C語言的不帶正負號的整數。

在大多數情況下，這些都是相當次要的問題，因為作為使用足夠進階語言的程式員，我們並非不得不關心，機器內部是如何?數字這等如砂礫般細節。在某些地方，這些缺口開始顯現——它們在這些地方，理解這些表示和它們的不足變得至關重要。例如符號-大小和一的補碼都有一個我們需要處理的‘負零’，二的補碼有一個不同的問題：它能表示的負值個數比正數多一個。

在符號-大小中，‘全1’位元模式是-1，但是一個符號位和全0是‘-0’。在一的補碼，全1是‘-0’。在二的補碼，全1也是-1——那麼一個符號位和全0是什麼呢？答案是，它是一個沒有對應正值的負值。如果我們得到這些位元模式1000…00，再加1，我們加1到0111…11結果又是1000…00。在十六位中，符號位是1再跟著全0表示-32768，但是最大的正數是+32767。負數。對-32768取負得到-32768（除非，幾乎不會發生地，機器為你捕獲這個錯誤；再說，通常儘快得到錯誤的答案更重要）。

因此，三種標記法都有缺陷：符號-大小容易理解，但是要求大量額外硬體，並且有一個‘負零’；一的補碼要求較少些額外硬體（迴圈舍入進位），並且類似符號大小，需要單獨的指令表示有符號和無符號數，以及仍然有一個‘負零’；二的補碼有一個沒有對應正值的負數。但是二的補碼不需要額外硬體，能夠非常快，以及能夠使用一套簡化的指令，儘快得到錯誤的答案，所以大多數現代電腦這樣做。

順便提及，注意我談及用位反轉來計算一個負數的正值（及可能加1）。對於上面的數字序列求和規則，我們有一個十分優雅的數學解釋。然而不同於an-1乘2n-1，對二的補碼和一的補碼，這個最重要的‘符號’位，分別簡單地有一個值-(2n-1)或-(2n-1-1)。例如對於一個4位位元，低3位表示4、2和1（所以三位的最大值是7）但是首位表示-8和-7而不是8。因此數字序列1001，用二的補碼錶示-8+1或-7，1000表示-8。這些序列用一的補碼，分別表示-7+1或-6，和-7，並且全1在二的補碼裡是-8+7或-1，現在是-7+7或0（因為符號位，它是-1而不是+0）。

定點數

C語言沒有內建的定點數類型，但可以很容易從整型構造出來。對於一個二進位定點數，我們簡單地指定這個數字中一些位作為‘小數部分’。繼續使用上面的數學符號，小數點前的數字表示2n-1，2n-2，等等，直到20。後續的數字表示2-1，2-2，等等。注意2-1是0.5，2-2是0.25，2-3是0.125，等等——所以我們可以表示4.5，4.25和4.75，但是根據我們能用的位元的多少，我們或不能準確地表示某些值。如果後兩位‘越過小數點’，10000表示4.00，10001表示4.25，10010表示4.50以及10011表示4.75，但是沒有位元模式能表示4.10。我們僅能有效‘預乘’（或按比例縮放）2k，這裡k是小數點後的位元：4.5乘4是18，用二進位表示是10010。4.1乘4是16.4，‘點4’部分不能被表示。

C語言的不帶正負號的整數類型，可以很好用於定點數，理所當然它們是無符號的。如果你需要負的定點數，你可以簡單地使用有符號算術。這在大多數情況下都工作的很好，但注意在你乘或除兩個定點數時會發生的事：它們已經包括比例因素2k，所以兩者的乘積包括一個22k的因子，並且除法會去除這個比例因素。根據結果的使用，你可能需要調整比例。可以使用移位操作常識達到這一點，但是移位操作只對不帶正負號的整數作出定義。如果底層硬體使用一的補碼或符號大小標記法，你通常會得到一個錯誤的答案。甚至對於二的補碼，移位一個負數有時可能產生錯誤的答案。（或者你能用儘可能快地得到錯誤答案的思想來安慰自己。）

浮點數

浮點數產生於令人困惑的多種多樣的實現，至少在更老的硬體。C允許幾乎所有這些硬體。關注所有這些細節，遠遠超出這頁網文的範圍，所以我會有意略過似IBM的‘十六進位浮點數’一類的慘事愁雲，集中關注時至今日在大多數微處理器上都有的IEEE浮點數。

考慮一個典型的十進位的‘科學記號標記法’數字7.2345*1012。為了方便起見，它也常常不用上標寫成7.2345E12。它由兩部分組成，有效數字（亦常稱‘尾數’，儘管嚴格來講在這裡尾數是0.2345，有效數字卻是整個7.2345這部分）和指數——在這裡是12。這種標記法有一些有用的特點，它們中僅有一些適用電腦表示。第一個特點是在這種常規格式中，小數點前只有一位元。我們隨後可以用這個避免在電腦中儲存‘小數點’字元。不適用的一個，或至少不能直接應用的是‘有效數字’的概念：數字7.2345有五個數字（我們沒有計算小數點），所以這個數字被認為是精確到5位。如果這個數字精確到六位，我們要寫成7.23450E12：這個額外的零不影響最終的值。第三個特點，現在也用不上的是，乘法和除法更容易——我們乘和除有效數字，然後簡單地加或減指數。令人好奇的是，加法和減法變得更難了。因為1.4171901E7加3.3E1要求用我們稱作的‘反正常化’（因為小數點不是緊挨著第一個數字）的格式，‘重新縮放’其中一個數字：3.3E1首先變成0.0000033E7，然後我們相加兩個數字得到1.4171934E7。（反正常化另一個運算元也是可能的，或者甚至兩個，在相加並正常化結果。然而在一些極端的指數下，情況會變得棘手。相減兩個數值接近的數字也變得微妙。比如1.99999E5減1.99998E5得到0.00001E5。這不得不被重新正常化為1.00000E0。）

科學記號標記法是有效浮點數十進位格式。在這裡很容易陷入這個圈套：電腦算術常常被輸出為十進位浮點數格式，致使容易相信那些數字一直都是如此格式。但實際上，今天大多數電腦使用一個二進位浮點數格式。

考慮二進位浮點數格式的數字4.5。類似上面提及的定點數4.5是22 + 2-1。用二進位表示，那麼是‘100.1’。現在所有我們要做的是‘正常化’這個數字為（使用‘最新發明的’字元B符號代替E）‘1.001b+2’。換言之，我們現在有1個一，0個二分一，0個四分一，1個八分一（1.125），乘以二的平方或4。對於定點數我們簡單地用4縮放——在這個例子中即是。定點數和浮點數之間的不同是比例因素發生改變。為表示9.0，我們將用8（23）放大：現在我們令1個一，0個二分一，0個四分一，一個8分一乘以九得到1.001b+3。

在科學記號標記法十進位浮點數中，按十的冪進行縮放是微不足道的：我們僅更改指數。類似地在二進位浮點數中，按二的冪縮放也是如此簡單。既然9是4.5的兩倍，我們僅把指數加一。為了得到18我們再遞增指數。每次有效位都保持不變1.001；只有指數發生改變。

十分奇怪的是，二進位浮點數在表示類似十分之一的數字時，是絕對令人感到驚駭的。用十進位時這非常容易：1.0e-1。然而在二進位中，十分之一是1個十六分之一（0.0675）加上1個三十二分之一（0.03125）加上0個六十四分之一（0.015625；這令我們到下一個）加0個1/128（0.0078125；繼續到下一個）加1個1/256加1個1/512加0個1/1024，並繼續，得到1.100110011001100…b-4作為它的二進位表示。序列‘1100’永遠重複，相當類似三分之一的十進位形式3.33333…e-1，具有無窮個‘3’。（實際上很容易得知，任何不以數字5結尾的十進位小數都有這個問題。） 幸運的是整數值，至少對於‘足夠小的’整數，總能用二進位浮點數確切表示。

注意，如果我們總是用‘正常化’格式書寫二進位浮點數，不僅二進位小數點總是第二個字元，而且第一個字元總是一個‘1’。它表示我們不僅能省略用於二進位小數點的儲存空間，也能省略用於第一個數位儲存。所以在電腦內部，數字1.1011b+4（它表示16+8+2+1或27）能恰好表示為位元字序列‘1011’和指數（+4）。因此，在IEEE二進位浮點數裡，儲存被分為兩部分：一部分為尾數（這個術語現在的使用恰如其分，因為首位元字不再儲存）一部分為指數。當然我們還有需要處理的討厭的符號問題：尾數和指數都是有符號的，因為數字可能有這樣的形式-1.1011b-4和+1.1011b+4。在這裡使用的IEEE格式的技巧，略為少見：對於更老的電腦和整數，尾數用符號-大小格式儲存；但是指數用一種‘額外的’格式。在這裡，負數會加上一個偏差，讓它們非負。

在不牽涉更多細節的情況下，這表示浮點數有三個部分（而非四個）：一個位用於表示尾數的符號；一些固定位表示尾數本身；其餘的位表示指數，用額外的格式。‘額外’依賴所餘位元。例如，IEEE單精確度是一個32位格式，其中1位表示尾數符號，23個位表示尾數，8位表示指數。因為八個無符號位能表示0到255，指數在邏輯上儲存於‘超出128’格式。因為我未打算解釋的理由，然而真正的額度是127，所以一個為1的指數值表示21-127，即是2-126。像我們將看到的，一個為0的指數被用於另一個用途。

因為我們使用正常化格式，23個用於尾數的位實際上儲存24位有效值，加上隱含的前置‘1’位和二進位小數點。我們的數字總是正-負（根據尾數符號）1.一些數字，b，正-負，一些數字（校正的指數）。或者更容易理解，如果真正的尾數值是m，真正的指數（未校正的）為e，表示的值為1.m*2e-127（如果符號位置上則為負數）。

如果你注意到，或熟悉這個情況，現在你會知道一個問題。如果尾數總是一——點——一些數字，我們如何表示0？最好的情況是，我們使用一個最小的常規指數（未校正的值1，表示2-126）是1.000…000b-126，它大約是1.17549435e-38。因此，我們通過聲稱一些指數為‘特殊情況’從尾端竊取一些值。特別地在這個例子中，一個應該表示b-127的全0位指數，被用於兩種特例。為了（或是錯誤的）對稱，一個應該表示b+128的全1位指數，被用於另兩種。

首兩個特別的情況是‘零’和未正常化（或非常規化）數字：尾數是一個全0位的值和一個0指數表示0.0（或者-0.0，如果設定了符號位），然而一個有同樣非零尾數位的數被視為‘非正常化’。這個數字表示為0.m*2e-126而不是1.m*2e-127（或者你喜歡，把二進位小數點向右移一位，把指數減至-127）。當然這裡的e是零，所以這恰好是0.m*2-126（或者小數點位於第一個m之後m.m*2-127）。最小的非零單精確度數字因此是0.00000000000000000000001b-126（二進位小數點後有22個零，其後是1），這是2-149，或約為1.4e-45。

最後兩個特例是，一個全1位指數表示無窮（如果所有尾數位為零）和‘不是數字’或者‘NaN’（如果某些尾數位被置上）。作為一個有用的技巧，如果所有位被置上，指數在定義上即為全1，尾數明顯至少有一些非零位（實際上全為非零），所以這是一個NaN。設定記憶體為全1以捕獲一些對未初始變數的使用。

注意無窮數是有符號數——正無窮數大於所有其它數，負無窮數小於其餘數——但是儘管NaN有一個符號位，它們卻不被視為有符號數。並非每一個實現總能把這個弄正確。更複雜一點，NaNs被分為‘安靜（Quiet）NaNs’和‘訊號（Signaling）NaNs’，QNaNs用於計算時只會令結果變成另一個QNaN，然而SNaNs被用於在運行時捕獲錯誤。一再地，並非每個實現都把這個做對了。

結果超出最大可表示值的運算，會被轉換為正無窮數：例如1e38乘以1e1會溢出，所以會得到正無窮數。超出最小負數的負數同樣溢出變成負無窮數（所以-1e38*1e1是負無窮數）。

對於一個大小為b+127的指數，單精確度數字最大約為1e38。（確切的數字為340282346638528859811704183484516925440或約為3.4e+38，即是1.m*2e-127的值，當m是全1位，e等於254）。雙精確度數通常使用64位，分為1位符號位，52位尾數和11個指數位（儲存額度為1023，因為210是1024）。更大的指數大約為1e308。擴充精度，如果有的話，在一些系統包括IA-32上使用80位，其它系統上使用128位。尾數和指數都進行擴充，指數通常有15位，其餘位為尾數（不盡相同）；最大的數字約是1e4932。英特爾IA-32體繫結構浮點數單元較罕見，它們內部使用80位表示全部數字，在裝載或儲存時轉換為32位或64位。但是有一些控制位以補償額外的有效數字精度，對於額外的指數範圍則沒有。這表示一些會溢出的計算，實際上得出並非無窮數的答案。例如相乘兩個雙精確度數字1e200和1e200會溢出，結果不是1e400。用1e300除這個結果（正無窮數）得到無窮數。在許多英特爾晶片上，導致這個發生的唯一途徑，是把運算再儲存至記憶體，它會減慢運算速度。C代碼是這樣的：

    double a = 1.0e200, r;    r = a * a;    r = r / 1.0e300;    printf("%g\n", r);

它應該列印‘無窮數’，但是實際上列印‘1.0e100’，在許多英特爾機器上的C編譯器上。（我們再次看到，得到錯誤答案非常重要——至少是IEEE關心的錯誤——儘可能快的。當然有人會爭論，它明顯是正確的答案。然而C和IEEE的運算規則，指出這個結果應該是無窮的。）

數字、基數及表示