【OpenCV影像處理】十、映像的長條圖及相關處理（上）

長條圖是數位影像處理中的一個重要的基礎工具，在討論各種空域影像處理之前，首先要十分清楚長條圖的概念以及它的表示的意義。

長條圖提供了映像的統計資訊，為了理解多種空域增強技術的內涵提供了鋪墊。此外，利用長條圖操作也可以直接用於映像增強。目前大多數數字照相機都有顯示所拍攝照片長條圖的功能，長條圖可以顯示出整張照片的灰階分布情況，可以根據長條圖所示的灰階分布判斷映像曝光是否恰當，有助於拍攝前的各種參數中設定，如感光度、光圈、快門速度和曝光時間等。

1.灰階長條圖

長條圖是數位影像的統計表徵量。對於一幅灰階映像，灰階長條圖反映了映像中不同灰階像素出現的統計情況，描述了像素灰階的分布情況。數位影像的灰階長條圖是一個一維離散函數，定義為

其中，rk表示第k個灰階級，nk表示灰階值為rk的像素在映像中出現的頻數，L表示灰階級數。

在一幅映像中，灰階值為rk的像素出現的頻數與像素總數的比值，稱為“機率長條圖”，可以表示為：

式中，n為映像中的像素總數，等號座標實際上表示灰階級rk的機率分布。因此，在機率長條圖中，所有灰階級的機率之和等於1.

映像的長條圖的兩個性質：

1.長條圖表示一幅映像中不同灰階像素出現的統計資訊，它只能反映該映像中不同灰階值出現的頻數（機率），而不能表示出像素的位置等其他資訊。

2.映像與長條圖之間是多對一的映射關係，也就是說，不同的映像可能對應同一幅灰階長條圖。

映像長條圖在數位影像處理中的三個方面的應用：

a.長條圖可以用於判斷一幅映像是否合理的利用了全部可能的灰階級。直觀上來說，如果一幅映像的像素值充分佔有整個灰階級範圍並且分布比較均勻，則這樣的映像具有高對比和多灰階階。通過檢查灰階長條圖，可以確定裝置參數調整方向，或者灰階級變換規則，如伽瑪校正。

b.映像的視覺效果與其長條圖之間存在對應關係，改變長條圖的形狀對映像產生對應的影響。通過長條圖可以推斷出映像的一些性質：明亮映像的長條圖傾向於灰階級高的一側，灰暗映像的長條圖傾向於灰階級低的一側；低對比映像的長條圖集中於灰階級中很窄的範圍，高對比映像的長條圖覆蓋的灰階級很寬而且像素的分布比較均勻。因此，通過處理長條圖可以起到映像增強作用。

c.利用長條圖可以在映像分割中確定合適的閾值，並且能夠根據長條圖地區對像素進行統計。

2.累積長條圖

累積長條圖實際上就是機率長條圖p(rk)關於灰階級rk的累積機率分布，定義為：

、

其中，rk表示第k個灰階級，nk為頻數，n為總數，c(rk)表示灰階值落在區間[0,rk]內的像素在映像中出現的總機率，L表示灰階級數。需要注意的是，累積長條圖一定是遞增的（不一定嚴格遞增），且第L個灰階級的累積機率值一定等於1.

3.彩色映像的分量長條圖

上面說的長條圖都是針對灰階映像而言的，下面主要來考慮一下彩色映像的情況。因為在彩色映像中，每個像素的顏色是有3個分量數值組成的一個向量。因此所謂的彩色映像的長條圖，其實是對映像中所有像素的R,G,B分量分別統計得到的3個分量的長條圖。3個分量的黑白印刷效果實際上就是3個灰階映像，下面考慮如何將一幅彩色映像轉換成為灰階映像的方法。

如果直接分別提取R,G,B三個分量中的一個分量作為結果映像的灰階，其他兩個分量在置為與選定分量同等大小的值，這就類似於黑白印刷的效果。但是這種方式處理有相應缺點，顯示效果並不是十分理想，畢竟其中的兩個分量被忽略掉了，而它們對於最終的顯示效果也有貢獻。因此一般會採用下面的方法，大致有3種。

a.平均值法：

每個像素的三原色值等於紅綠藍3個分量的平均值，這樣一來，結果映像中的像素值構成也就均勻的考慮到了3個分量的影響，公式可以表示為：

b.最大值法：

每個像素的三原色值等於紅綠藍3個顏色的最大值，公式為：

c.加權平均值法：

加權平均值法中給予紅綠藍3個分量不同的權值，然後進行相加，公式如下：

人眼對於三原色的敏感程度從高到低分別是綠、紅、藍，所以三原色權值的取值關係應該是WG>WR>WB，由YUV色彩空間可知，當R=G=B=0.299R+0.587G+0.114B時，能夠得到最合適的灰階映像。

4.長條圖處理：

長條圖處理也是一種點處理方法，它通過對灰階長條圖進行變換有效實現映像增強。長條圖處理主要有長條圖均衡化和長條圖規定化兩種方法。長條圖均衡化是通過灰階級變換將輸入映像變換為具有均勻分布長條圖的映像。更一般的情況，長條圖規定化是指通過灰階級變換將輸入映像轉換為具有特定分布長條圖的映像。

a.基礎理論

長條圖處理的作用是通過是長條圖服從均勻分部或者其他特定的函數形式，從而擴充灰階級的動態範圍。提高映像的對比、增強局部細節等等。

設r表示輸入映像的灰階級，機率分布率為Pr(r)，s表示輸出映像的灰階級，其機率分布律為Ps(s)，其中0<=r,s<=1，長條圖處理就是選取灰階級變換函數，使得

s = T(r)

式中，T(r)為變換函數，T(r)的選取應該滿足下面的條件：

(1).T(r)在區間0 <= r <= 1內為嚴格單調遞增函數

(2).對於0 <= r <=1,有0 <= T(r) <=1

第1個條件保證了灰階級從暗到亮的次序不變，並且保證了反函數的存在；第二個條件保證了輸出灰階級與輸入灰階級具有相同的灰階級範圍。滿足上述條件的反函數表示為：

r = T^(-1)(s)

反函數同樣滿足上述的兩個條件。

b.長條圖均衡化

當長條圖中像素值集中在狹窄的灰階級範圍內或分布極不均勻時，映像呈現較差的對比。由於一幅適當對比映像的長條圖具有較寬的灰階級範圍，且分布較為平坦，

長條圖均衡化的目的是將長條圖的灰階級機率分布變換為均勻分布。

對於L個灰階級的數位影像，長條圖均衡化後的機率分布率做不到完全服從均勻分布。設第k個灰階級為rk，具有灰階值rk的像素數為nk，像素總數為n,長條圖均衡化的具體可執行檔步驟如下：

（1）.計算輸入映像灰階級rk的機率分布律Pr(rk)，統計各灰階級rk的像素出現的機率為：

 (2).計算輸入映像灰階級rk的累積機率分布率Fr(rk):

（3).確定輸入灰階級與輸出灰階級之間的映射關係rk→sk,將輸入映像中的rk映射到輸出映像中灰階級為sk的對應像素中

（4).統計輸出映像各灰階級sk的像素數，並計算輸出映像灰階級sk的機率分布率Ps(sk)。

需要注意的是，在灰階級為離散形式時，灰階級映射後的灰階值sk一般並非落在量化的灰階級上，因此將灰階值sk近似為最接近的量化灰階級sk。因此長條圖中的同一灰階級的像素不能拆分，而不同灰階級的像素通常會發生合并，因此，造成所使用的灰階級數減少，從而造成細節資訊的丟失。

最後需要說明，長條圖均衡化的目的是一幅映像的像素值佔有全部可能的灰階級且分布的儘可能均勻，儘管能夠從視覺效果上提高映像的對比，但是，由於長條圖中機率較小的灰階級合并為更少的幾個或一個灰階範圍內，從而降低了映像的灰階解析度，且某些細節資訊處於機率較小的灰階級中，這樣的灰階級歸併到其他灰階級中，從而造成映像細節資訊的丟失。

因此，已有的研究表明，一種好的映像增強（複原）的演算法應該使得處理後映像的長條圖與源映像的長條圖在總體形狀上保持一致。因此，長條圖均衡化的主要問題是造成了長條圖的形狀發生了失真，從而使得處理後的映像看起來缺乏真實性和自然性。

b.長條圖規定化

上面介紹的長條圖均衡化能夠增強映像的對比，然而卻無法控制具體的增強效果，更一般的情況是要求映像具有特定的長條圖，以便於有選擇的對映像中某個特定的灰階級範圍進行增強，或使其滿足後續處理的特定需求。

長條圖規定劃的目的是是將具有一直長條圖的映像變換為具有某種特定形狀長條圖或者使用者互動指定形狀長條圖的映像，因而也稱為“長條圖匹配”

可以看出，長條圖均勻化是長條圖規定化的特例，因為它將輸入映像的長條圖變換為服從均勻分布的長條圖

對於數位影像，由於長條圖是離散化的，不同灰階級的像素可以合并，同一灰階級的像素不能拆分，因此，不同的映射關係，會產生不同的規定化結果。設數位影像具有L個灰階級，輸入映像的灰階級為rk,具有灰階值rk的像素數為nk，長條圖規定划具體可執行步驟大致如下：

（1）.對輸入映像的機率長條圖Pr(rk)進行長條圖均衡化，也就是計算Pr(rk)的累積長條圖

（2）.對規定長條圖Pv(vj)進行長條圖均衡化，即計算規定化累積長條圖：

（3）.根據前向映射sk→vt或者向後映射vt→sk臨近原則將輸入灰階級映射到新的灰階級，也就是尋找k和l滿足條件：

（4）.確定輸入灰階級與輸出灰階級之間的映射關係rk→vk，將輸入映像中灰階級為rk的像素映射到輸出映像中灰階級為vk的對應像素。

（5）.統計輸出映像各灰階級vk的像素個數，並計算輸出映像的機率長條圖。