【OpenGL】繞任意單位軸旋轉矩陣計算

在三維變換中，經常要用到旋轉變換，而且很多變換是圍繞任意軸的。那麼下面就介紹繞任意單位軸旋轉的兩種方法。

假設要旋轉的角度是a，圍繞的軸是r。

方法一：

（1）構建新的基

尋找另外兩條單位長度的座標軸s、t，他們相互垂直，而且與r垂直。這樣r、s、t組成了一組新基。

具體求s的方法：

找到r中的最小分量，將其設定為0.然後交換其他兩個分量，接著將第一個非零的分量取反（實際上也可以對另外一個非零分量取反）。

要求t，只需求r、s的叉積即可。

詳細計算公式：

這樣就確保了r、s、t組成了一組正交單位基。

（2）將標準基變換到新的基。

需要通過變換使得r和x軸重合，這樣之後的旋轉就是繞x軸的普通旋轉。另外的兩個軸也相互重合。

變換矩陣由上面的r、s、t向量組成：

（3）旋轉

因為r與x重合，在新的基中我們只需圍繞x軸進行旋轉（正常情況下的旋轉）即可。

假設旋轉矩陣是Rx(a)。

（4）變換回到原來的標準基。

變換矩陣應該是M的逆矩陣，由於M是正交的，因此其逆矩陣就是其轉置矩陣。

因此，最終的繞任意單位軸的變換矩陣是：

方法二

根據Goldman給出的公式進行計算，這個公式有點複雜：

具體推導過程可以參考：

http://www.cppblog.com/lovedday/archive/2008/01/12/41031.html

http://www.cnblogs.com/cg_ghost/archive/2012/04/27/2473347.html