關於正交變換和正交矩陣

關於正交變換和正交矩陣一點學習筆記:定義:設V是一個歐氏空間,А是V上的線形變換,如果對於任何向量x,y,變換А恒能使的下列等式成立則說А是V上的正交變換。    定理: А是歐氏空間V上的線形變換,下面滿足任意條件都是А成為正交變換的充要條件。1. А使得向量長度保持不變,機對於任何x∈V有(А(x), А(x))=(x,x)    2.任意一組標準正交基經過А變換後的 基像仍是一組標準正交基。    3. А在任意一組標準正交基下的矩陣А滿足ATA=AAT=I或A-1 = AT關於應用方面兩類常見的正交變換:1.     平面上的旋轉變換按照平面中的座標系經過α度旋轉得到的變換：   А(i) = cosα*I – sinα*j{ А(j) = sinα*j + cosα*I   

А(I,j) = (I,j)( cosα,sinα)(-sinα,cosα)                                           y               y’      x                     j     I     α|А| =cosα2  + sinα2   = 1                                                                                                                             icosαx’                                                                                                                -jsinα  

2.反射變換                                                                                                j А(i) = I’ = I + 0*j                                         iА(j) = j’ = 0*I+(-1)j                                                                                                                            

А(I,j) = (I,j)(1, 0)                  (0,-1)  下面將其推廣到n維空間中初等旋轉變換:n維Euclid空間V中取一組標準正交基e1,e2…en          1            .1 cosα … … … sinα Rij =           .                 .                -sinα… … …   cosα                                         1                                                 此時確定的變換為初等旋轉變換也叫做Givens變換,具備兩個性質①行列式值為1②是正交變換Rij為正交陣 ①可以通過下面證明:自己推導令C = cosα, S = sinα則可以化成           1            .1 C … … … S Rij =           .                 .                -S… … …   C                                  1 可以通過分解消元上下角可以消去|Rij| = 1*   C … … … S 1 .           -S… … …   C                                 再通過內部消去分解可以得到|Rij| = C    S              = C2+ S2 = cosα2  + sinα2=1         -S    C   

② RijTRij =   1                             1               .                              .1                         1      C … … … -S               C … … … S                    .                             .                    .                             .                    S … … …   C               -S … … …C                                     1                          1 

             1            .1 C2+S2 … … …C2+S2Rij =           .                          = I                 .                C2+S2… … … C2+S2                                     1   還有一個鏡象變換圖片太難畫不搞了,用途可以用於n維空間中將圖片進行旋轉。提供簡單計算公式。後面掃描圖片算了畫是畫死了。