Pell方程解法+連分數自己整理

1、首先學習一下連分數。

      連分數：維基百科。

     連分數表示的演算法會學習一下。

    

 

考慮實數 r。設 i 是 r 的整數部分，而 f 是它的小數部分。則 r 的連分數表示是 [i; …]，這裡的“…”是 1/f 的連分數表示。習慣上用分號取代第一個逗號。

要計算實數 r 的連分數表示，寫下 r 的整數部分（技術上 floor）。從 r 減去這個整數部分。如果差為 0 則停止；否則找到這個差的倒數並重複。這個過程將終止，若且唯若 r 是有理數。

找出 3.245 的連分數
			停止
3.245 的連分數是 [3; 4, 12, 4]

數 3.245 還可以表示為連分數展開 [3; 4, 12, 3, 1]；參見下面的有限連分數。

這個演算法適合於實數，但如果用浮點數實現的話，可能導致數值災難。作為替代，任何浮點數是一個精確的有理數（在現代電腦上分母通常是 2 的冪，在電子計算機上通常是 10 的冪），所以歐幾裡得GCD演算法的變體可以用來給出精確的結果。

2.PELL方程的解法。

 

若一個丟番圖方程具有以下的形式：

且為正整數，則稱此方程為佩爾方程(英文：Pell's equation 德文：Pellsche Gleichung)

若是完全平方數，則這個方程式只有解（實際上對任意的，都是解）。對於其餘情況，拉格朗日證明了佩爾方程總有解。而這些解可由的連分數求出。

設 是的連分數表示:的漸近分數列，由連分數理論知存在  使得(pi,qi)
為佩爾方程的解。取其中最小的 ，將對應的 (pi,qi) 稱為佩爾方程的基本解，或最小解，記作(x1,y1)
，則所有的解(xi,yi) 可表示成如下形式：

或者由以下遞推公式得到：