PKU 1723 SOLDIERS

 題目大意是給定n個點的座標（n <= 10000），問把這些點移動到一橫行並且一個挨著一個（具體位置任意）的最少移動步數（其中每次只能向上下左右移動一個座標）。
　　這個題目體現了轉化的思想。首先考慮這樣的問題：一個數軸上有n個座標，問把這n個座標移動到一個點上最少移動步數，其中每次移動一個格子。根據中位元的定義，把所有座標排序後第n / 2個座標是中位元，把所有座標移動到這上面移動次數最小。證明很容易想到，因為如果不這樣的話，把目標座標往左平移還是往右平移，勢必造成左半部的座標集體變化1，右半部的座標也集體變化1，如果左右半部座標的個數不同，那麼顯然就不是最優的了。
　　接下來考慮題目，題目中x和y的移動是孤立的，可以分開討論。y的移動方法和上面討論的情況一樣，現在考慮x的移動。x的移動要求最終是一個挨著一個的，x排好序之後，假設最終所有點以x0為左端點依次排開，對應的點分別為x0, x1...那麼問題的答案就等於把這n個座標依次對應的挪到x0到xn-1上的步數。如果我們把這n個目標點分別都移動到x0上，那麼問題就轉化成了中位元問題了。考慮把xi移動到x0上，要花費i步，為了保證問題是等價變換的，應該把xi在原座標中對應的xi'也相應的向左移動i步，這樣xi'移動到xi的代價就是不變的。設xi'左移i步後的新位置是xi''，那麼問題就轉化成：把x0''到xn-1''這n個點移動到一個座標的最小步數，用中位元的方法就可以做出來了。
　　這個題目的巧妙之處在於把一個未知問題轉化成一個已知問題。轉化的思想在數學中用的很多，應該多多練習。

題目代碼：

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 10010;

int main()
{
    int x[N],y[N],n,i;
 
    while (scanf("%d", &n) == 1)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cin>>x[i]>>y[i];
        sort(x, x + n);
        sort(y, y + n);
        for (i = 0; i < n; i++)
            x[i] -= i;
        sort(x, x + n);
        int ans = 0;
        for (i = 0; i < n / 2; i++)
            ans += x[n-i-1] - x[i] + y[n-1-i] - y[i];
        cout<<ans<<endl;
    }
 
    return 0;
}