精確表達浮點數

在電腦中，使用float或者double來儲存小數是不能得到精確值的。如果你希望得到精確計算結果，最好是用分數形式來表示小數。有限小數或者無限迴圈小數都可以轉化為分數。比如：

0.9=9/10

0.333（3）=1/3（括弧中的數字表示是迴圈節）

當然一個小數可以用好幾種分數形式來表示。如：

0.333（3）=1/3=3/9

給定一個有限小數或者無限迴圈小數，你能否以分母最小的分數形式來返回這個小數呢？如果輸入為迴圈小數，迴圈節用括弧標記出來。下面是一些可能的輸入資料，如0.3、0.30、0.3（000）、0.3333（3333）、……

 分析與解法

拿到這樣一個問題，我們往往會從最簡單的情況入手，因為所有的小數都可以分解成一個整數和一個純小數之和，不妨只考慮大於0，小於1的純小數，而且暫時不考慮分子和分母的約分，先設法將其表示為分數形式，然後再進行約分。題目中輸入的小數，要麼為有限小數X=0.a1a2…an，要麼為無限迴圈小數X=0.a1a2…an（b1b2…bm），X的表示式中的字母a1a2…an，b1b2…bm都是0~9的數字，括弧部分（b1b2…bm）表示迴圈節，我們需要處理的就是以上兩種情況。

對於有限小數X=0.a1a2…an來說，這個問題比較簡單，X就等於（a1a2…an）/10^n。 

對於無限迴圈小數X=0.a1a2…an（b1b2…bm）來說，其複雜部分在於小數點後同時有非迴圈部分和迴圈部分，我們可以做如下的轉換：

X=0.a1a2…an（b1b2…bm）

=>10^n*X=a1a2…an.（b1b2…bm）

=>10^n*X=a1a2…an+0.（b1b2…bm）

=>X=(a1a2…an+0.（b1b2…bm）)/10^n 

對於整數部分a1a2…an，不需要做額外處理，只需要把小數部分轉化為分數形式再加上這個整數即可。對於後面的無限迴圈部分，可以採用如下方式進行處理： 

令Y=0.b1b2…bm，那麼

10^m*Y=b1b2…bm.（b1b2…bm）

=>10^m*Y=b1b2…bm+0.（b1b2…bm）

=>10^m*Y-Y=b1b2…bm

=>Y=b1b2…bm/（10^m-1） 

將Y代入前面的X的等式可得：

X=(a1a2…an+Y)/10^n

=(a1a2…an+b1b2…bm/(10^m-1))/10^n

=((a1a2…an)*(10^m-1)+(b1b2…bm))/((10^m-1)*10^n) 

至此，便可以得到任意一個有限小數或無限迴圈小數的分數表示，但是此時分母未必是最簡的，接下來的任務就是讓分母最小，即對分子和分母進行約分，這個相對比較簡單。對於任意一個分數A/B，可以簡化成（A/Gcd（A,B））/（B/Gcd（A,B）），其中Gcd函數為求A和B的最大公約數，這就涉及本書中的演算法（2.7節“最大公約數問題”），其中有很巧妙的解法，請讀者閱讀具體的章節，這裡就不再贅述。 

綜上所述，先求得小數的分數表示方式，再對其分子分母進行約分，便能夠得到分母最小的分數表現形式。 

例如，對於小數0.3（33），根據上述方法，可以轉化為分數：

0.3（33）

=（3*（10^2-1）+33）/（（10^2-1）*10）

=（3*99+33）/990

=1/3

 

對於小數0.285714（285714），我們也可以算出：

0.285714（285714）

=（285714*（10^6-1）+285714）/（（10^6-1）*10^6）

=（285714*999999+285714）/999999000000

=285714/999999

=2/7