JavaScript 中小數和大整數的精度丟失

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JavaScript 中小數和大整數的精度丟失

標籤： JavaScript, JS, JScript

標題: JavaScript 中小數和大整數的精度丟失
作者: Demon
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先來看兩個問題：

0.1 + 0.2 == 0.3; // false9999999999999999 == 10000000000000000; // true

第一個問題是小數的精度問題，在業界不少部落格裡已有討論。第二個問題，去年公司有個系統的資料庫在做資料訂正時，發現有部分資料重複的詭異現象。本文將從規範出發，對上面的問題做個小結。

最大整數

JavaScript 中的數字是用 IEEE 754 雙精確度 64 位元浮點數 來儲存的，其格式為：

s x m x 2^e

s 是符號位，表示正負。 m 是尾數，有 52 bits. e 是指數，有 11 bits. 在 ECMAScript 規範 裡有給出 e 的範圍為 [-1074, 971]. 這樣，很容易推匯出 JavaScript 能表示的最大整數為：

1 x (2^53 - 1) x 2^971 = 1.7976931348623157e+308

這個值正是 Number.MAX_VALUE

同理可推匯出 Number.MIN_VALUE 的值為：

1 x 1 x 2^(-1074) = 5e-324

注意 MIN_VALUE 表示最接近 0 的正數，而不是最小的數。最小的數是 －Number.MAX_VALUE

小數的精度丟失

十進位 0.1 的二進位為 0.0 0011 0011 0011 … （迴圈 0011）十進位 0.2 的二進位為 0.0011 0011 0011 … （迴圈 0011）0.1 + 0.2 相加可表示為：   e = -4; m = 1.10011001100...1100（52 位） + e = -3; m = 1.10011001100...1100（52 位）---------------------------------------------   e = -3; m = 0.11001100110...0110 + e = -3; m = 1.10011001100...1100---------------------------------------------   e = -3; m = 10.01100110011...001--------------------------------------------- = 0.01001100110011...001 = 0.30000000000000004（十進位）

根據上面的演算，還可以得出一個結論：當十進位小數的二進位表示的有限數字不超過 52 位時，在 JavaScript 裡是可以精確儲存的。比如：

0.05 + 0.005 == 0.055 // true

進一步的規律，比如：

0.05 + 0.2 == 0.25 // true0.05 + 0.9 == 0.95 // false

需要考慮 IEEE 754 的 Rounding modes, 有興趣的可進一步研究。

大整數的精度丟失

這個問題鮮有人提及。首先得弄清楚問題是什麼：

1. JavaScript 能儲存的最大整數是什嗎？

該問題前面已回答，是 Number.MAX_VALUE, 非常大的一個數。

2. JavaScript 能儲存的且不丟失精度的最大整數是什嗎？

根據 s x m x 2^e, 符號位取正，52 位尾數全填充 1, 指數 e 取最大值 971, 顯然，答案依舊是 Number.MAX_VALUE.

我們的問題究竟是什麼呢？回到起始程式碼：

9999999999999999 == 10000000000000000; // true

很明顯，16 個 9 還遠遠小於 308 個 10. 這個問題與 MAX_VALUE 沒什麼關係，還得歸屬到尾數 m 只有 52 位上來。

可以用代碼來描述：

var x = 1; // 為了減少運算量，初始值可以設大一點，比如 Math.pow(2, 53) - 10while(x != x + 1) x++;// x = 9007199254740992 即 2^53

也就是說，當 x 小於等於 2^53 時，可以確保 x 的精度不會丟失。當 x 大於 2^53 時，x 的精度有可能會丟失。比如：

x 為 2^53 + 1 時，其二進位表示為：10000000000...001 （中間共有 52 個 0）用雙精確度浮點數儲存時：e = 1; m = 10000..00（共 52 個 0，其中 1 是 hidden bit）顯然，這和 2^53 的儲存是一樣的。

按照上面的思路可以推出，對於 2^53 + 2, 其二進位為 100000…0010（中間 51 個 0），也是可以精確儲存的。

規律：當 x 大於 2^53 且二進位有效位元大於 53 位時，就會存在精度丟失。這和小數的精度丟失本質上是一樣的。

hidden bit 可參考：A tutorial about Java double type.

小結

小數和大整數的精度丟失，並不僅僅在 JavaScript 中存在。嚴格來說，使用了IEEE 754 浮點數格式來儲存浮點類型的任何程式設計語言（C/C++/C#/Java 等等）都存在精度丟失問題。在 C#、Java 中，提供了 Decimal、BigDecimal 封裝類來進行相應的處理，才避開了精度丟失。

註：ECMAScript 規範中，已有 decimal proposal，但目前尚未被正式採納。

最後考考大家：

Number.MAX_VALUE + 1 == Number.MAX_VALUE;Number.MAX_VALUE + 2 == Number.MAX_VALUE;...Number.MAX_VALUE + x == Number.MAX_VALUE;Number.MAX_VALUE + x + 1 == Infinity;...Number.MAX_VALUE + Number.MAX_VALUE == Infinity;// 問題：// 1. x 的值是什嗎？// 2. Infinity - Number.MAX_VALUE == x + 1; 是 true 還是 false ?

參考資料

• Wikipedia: Float point
• ES5: The Number Type
• Javascript – MAX_INT: Number Limits
• Maxinum number
• 關於 JavaScript 計算精度丟失的問題

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