素數檢測演算法

前言今天做ACM的時候，遇到了素數的檢測，檢測一個範圍內的素數的時候，如果用最簡單的那種方法，逾時嚴重，因此學習了一個新的素數檢測演算法——素數篩選法，這裡也是跟大家分享一下素數

素數的定義一個大於1的整數，如果不能被除1和它本身之外的其它正整數整除，則是素數（又稱質數）合數的定義一個大於1的整數，如果不是素數則是合數。其中能整除這個數的正整數叫做約數，不等於1也不等於合數本身的約數叫做非平凡約數。注意：1既不是素數也不是合數檢測素數所謂素數檢測，就是給定任意一個大於1的整數，判斷這個整數是否為素數。因子檢測法方法：就是從2到ｎ-1一個個的拿來嘗試，看能否整除ｎ，如果存在能夠整數ｎ的（找到一個因子），則ｎ不是素數，否則認為ｎ是素數。實際，是不需要試探到ｎ-1的，只要的ｎ的二次方根即可，原因是：設n = a * b,且a、b均為n非平凡約數，顯然a > n的二次方根和b > n的二次方根不可能同時成立，因為同時成立時 a * b就會大於n，所以如果n存在非平凡約數，至少有一個小於等於n的二次方根，因此只要遍曆到ｎ的二次方根即可。因子檢測的實現代碼如下（ｃ）：

int isPrime(int n){int i, flag;flag = (n <= 1)? 0 : 1;for(i = 2; i <= sqrt(n); i ++){if(n % i == 0){flag = 0;break;}}return flag;}

測試結果：時間複雜度：很明顯，因子檢測演算法的時間複雜度是0（ｎ的二次方根）,一般來說，這個時間複雜度已經很牛叉了，但是如果我要求ｎ以內所有的素數集合，那時間複雜度瞬間就到了n * n的二次方根，這個對於ｎ很大時是不可忍受的素數篩選法利用素數因子檢測法去超找ｎ以內的所有素數，時間複雜度太高，不可忍受，因此這裡介紹另外一種演算法，素數篩選法，可以大大的節省時間，帶來的直接功效是九度oj上關於素數檢測的題我瞬間ac，用素數因子檢測基本都是wa。原理：當i是素數的時候，則ｉ的所有倍數必然是合數。如果ｉ已經判斷不是素數了，那麼找到ｉ後面的質數來把這個質樹的倍數篩掉。求20以內素數的篩選過程：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

• 第一步，因為所有的偶數和0,1必然不是素數，則將這些數的對應的value標記為flase，其餘為true。
• 第二步：

1. i = 3,由於prime[3] = 1,則prime[6],prime[9],prime[12],prime[15],prime[18]均標記為0;
2. i = 4,由於prime[4] = 0,則continue，不做處理;
3. i = 5 > sqrt(20),演算法結束

時間複雜度：這個時間複雜度由於我的數學知識有限，也沒法把計算過程解釋出來，總之確實是很快，至於為什麼ｉ= 5就結束了，原因跟素數因子法裡面的原理是一樣的，因為ｎ的因子必然有一個是小於等於n的二次方根的。素數篩選法實現代碼：

void getPrimeArray(int *prime){int i, j;//初始化素數標識數組for(i = 0; i < max; i ++){if((i == 2 || i % 2 != 0) && i != 1){prime[i] = 1;} else{prime[i] = 0;}}//進行素數的篩選for(i = 2; i * i < max; i ++){if(prime[i]){for(j = 2 * i; j < max; j += i){prime[j] = 0;}}}}

參考資料張洋的部落格——http://www.codinglabs.org/html/prime-test.html  我很崇拜的一個技術牛人