OpenGL中的glLoadIdentity、glTranslatef、glRotatef原理【轉帖】

OpenGL中的glLoadIdentity、glTranslatef、glRotatef原理

 

單位矩陣　　對角線上都是1，其餘元素皆為0的矩陣。 在矩陣的乘法中,有一種矩陣起著特殊的作用,如同數的乘法中的1,我們稱這種矩陣為單位矩陣． 它是個方陣,除左上方到右下角的對角線(稱為主對角線)上的元素均為1以外全都為0. OpenGL中的座標用齊次座標表示，即(x,y,z)表示成(x',y',z',h)，其中x=x'/h; y=y'/h; z=z'/h. 通常h取1. 比如空間中的點(2,3,4)，在OpenGL中將表示成(2,3,4,1). 齊次座標表示方式適合於矩陣運算，也很方便地表示了無窮遠的點，比如(1,0,0,0)就表示x軸上無窮遠的點，因為1/0是無窮大，這裡約定0/0=0. 接著要說點矩陣(線性代數)的知識。OpenGL裡面的平移、旋轉、縮放等變換均是線性變換，用矩陣相乘來表示。以平移變換為例，請見官方對glTranslatef函數的說明。假設有點(3,3,3)，如果把該點沿x軸移動2單位，沿y軸移動3單位，沿z軸移動4單位，那麼該點會是(3+2, 3+3, 4+4) = (5,6,7). 用矩陣表示是： 左邊的矩陣稱為平移變換矩陣，若把2、3、4換成x、y、z，則用它乘以一個齊次座標表示的向量，就可以將該向量平移(x,y,z). 旋轉變換和縮放變換都像平移變換一樣可用一個矩陣來表示。這裡可以不用理會這些矩陣長什麼樣，只需清楚它們乘以一個齊次座標表示的向量，就可以使該向量發生需要的變換。 把平移變換矩陣記為T(x,y,z)，旋轉變換矩陣記為R(x,y,z,s)，表示繞向量(x,y,z)旋轉s角度；把向量記為X。這裡只需要知道它們是矩陣就行了，現在要把一個點X，如(3,3,3,1)，移動(2,2,2)單位，再繞y軸旋轉30度角，用矩陣表示即R(0,1,0,30)*T(2,2,2)*X，可以理解為離X最近的矩陣最先作用。理解這個順序很重要，這樣，所有變換都可以用一串矩陣的相乘來表示，電腦裡面也確實是這麼做的。 介紹完基本的數學知識，下面說OpenGL的作用機制。OpenGL有個變換矩陣堆棧，堆棧就像子彈夾一樣，先進的後出。OpenGL中的每個向量，在被定義之後進入到OpenGL世界中，都必須先乘以這個變換矩陣堆棧的棧頂變換矩陣。如所示： 理解完上面的知識，再來理解glLoadIdentity、glTranslatef、glRotatef這些函數幹了什麼就容易多了。這些函數就是對這個堆棧的操作： glTranslatef：將T(x,y,z)右乘與堆棧的棧頂變換矩陣。右乘的解釋，假設目前棧頂變換矩陣為M，那麼就相當於把M修改為M*T. glRotatef ：將R(x,y,z,s)右乘與堆棧的棧頂變換矩陣。 glLoadIdentity：將堆棧的棧頂變換矩陣設定成單位矩陣。 glPushMatrix：將堆棧的棧頂變換矩陣複製一份，然後Push到堆棧中。所謂Push，就像塞子彈一樣把一個矩陣壓入到堆棧中，此時，棧頂就是這個新的矩陣了，注意定義的向量都是和棧頂變換矩陣作用的。 glPopMatrix：將堆棧的棧頂變換矩陣Pop出來。 該講的講完了，下面出幾道題目練習下吧。 1、OpenGL代碼是：glLoadIdentity(); glTranslate3f(4,5,1); glRotate3f(0,1,0,90); glVertex3f(1,1,1); 請問此時棧頂變換矩陣是什嗎？(1,1,1)這個點到了OpenGL世界中的點是什嗎？ 答：棧頂變換矩陣是T(4,5,1)*R(0,1,0,90)，(1,1,1)到OpenGL世界中的座標是T(4,5,1)*R(0,1,0,90)*(1,1,1). 2、解釋為什麼使用glPushMatrix和glPopMatrix的組合可以隔離這兩個函數中的變換，使之不影響後面的點？ 答：glPushMatrix新壓入的變換矩陣是複製了原來的棧頂變換矩陣，所以它繼承了之前的變換，此後執行glTranslatef、glRotatef這些函數時，修改的是棧頂變換矩陣，在glPopMatrix之前的點都將受到棧頂變換矩陣的作用，之後用glPopMatrix，把棧頂變換矩陣Pop掉，此時的棧頂變換矩陣又還原成原來的那個棧頂變換矩陣。 3、為什麼有時候glTranslate3f和glRotate3f能顛倒有時候又不能？ 答：矩陣A乘以矩陣B未必等於矩陣B乘以矩陣A，當它們相等時，很多隻是巧合。