機率統計：第一章 機率論的基本概念

第一章   機率論的基本概念

內容提要：

一． 加法、乘法原理及排列、組合複習

1．  加法原理  設完成一件事有類方法（其中任一類方法都可達到

完成這件事的目的），若第1類方法有種，第2類方法有種，第類方法有種，則完成這件事共有++種方法。

2．  乘法原理  設完成一件事有個步驟（依次完成每一步才可達到

完成這件事的目的），若第1步有種方法，第2步有種方法，第步有種方法，則完成這件事共有種方法。

3．  排列 

      （1）選排列和全排列 從個不同元素中任取個元素按順序排成一列，稱為從個元素中取出個元素的一個排列，從個元素中取出個元素的所有排列種數記為

；

將個不同元素全部取出的排列，稱為全排列，排列種數記為

=；

規定。

      （2）可重複排列  從個不同元素中可重複（有放回）的取個元

素按順序排成一列，其排列種數為。

      （3）不盡相異元素的全排列  設個元素中有個相同，又有個相同，又有個相同，且，這樣個元素的全排列叫不盡相異元素的全排列，其排列種數為。

  （4）環狀排列  從個不同元素中任取個元素不分首尾按環狀排列，排列種數為。

4．  組合

      （1）通常意義的組合  從個不同元素中每次取個元素不分順序並成一組，稱為從個元素中取出個元素的一個組合，從個元素中取出個元素的所有組合數記為

 或 

組合有以下性質：，。

   （2）可重複排列  從個不同元素中可重複（有放回）的取個元

素不分順序並成一組，稱為從個元素中取出個元素的一個可重複的群組合，從個元素中取出個元素的所有可重複的群組合數為。

二．隨機實驗和隨機事件

1．  隨機實驗（記為） 若實驗（觀察或實驗過程）滿足條件：

      （1）可以在相同的條件下重複進行，

      （2）實驗的結果是明確可知的，而且有多種可能性，

      （3）每次實驗之前不能確定哪個結果會出現，

則該實驗稱為隨機實驗。

    2．樣本空間和樣本點  實驗所有可能的結果組成的集合稱為的樣本空間，記為；實驗的每一個可能結果即中的每一個元素，稱為樣本點。

    3．隨機事件  隨機實驗的一個結果，即樣本空間的任一個子集，稱為隨機事件，用大寫字母表示。其又可細分為

 （1）基本事件  隨機實驗的每個不可再分解的結果（單個樣本點組

成的單點集），

（2）複雜事件  若干個基本事件構成的事件（由若干個樣本點構成集

合），

  （3）必然事件  樣本空間包含所有的樣本點，它是自身的子集，在每次實驗中它總是發生的，稱為必然事件，仍記為，

  （4）不可能事件  空集不包含任何樣本點，它作為樣本空間的子集，在每次實驗中都不發生，稱為不可能事件，記為。

    4．事件之間的關係及運算 

   （1）包含：若事件發生必導致事件發生，則稱包含於，或包含，記為，

   （2）相等：若且，則稱與相等，記為，

      （3）和事件：事件的和（或並）∪表示事件和事件中至少有一個發生，推廣如下：

∪∪…∪表示個事件,,…,中至少有一個發生，

∪∪…∪∪…表示事件,,…,,…中至少有一個發生，

（4）積事件：事件的積（或交）∩表示事件和事件同時發生，推廣如下：

∩∩…∩表示個事件,,…,同時發生，

∩∩…∩∩…表示事件,,…,,…同時發生，

  （5）差事件：事件發生而事件不發生，稱與的差，記為，

      （6）互斥事件（互不相容）：若事件和事件不能同時發生，即∩=，則稱與為互斥事件，

註：基本事件必是兩兩互斥的。

   （7）對立事件（逆事件）：在每次實驗中，“事件不發生的事件”稱為事件的對立事件，記為。

      註：∪=，=，=而且有定義可知，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，

    （8）事件的運算規律

 (ⅰ) 交換律：∪=∪，=

 (ⅱ) 結合律：∪(∪C)=(∪)∪,∩(∩C)=(∩)∩

 (ⅲ) 分配律：∪(∩C)=(∪)∩（∪）,∩(∪C)=(∩)∪（∩）

 (ⅳ) 德﹒摩根律：=∩,=。

三．機率的定義及性質

  1．機率的公理化定義

  設隨機實驗的樣本空間為，對於的每個事件，定義一個實數

與之對應，若函數滿足條件

 (ⅰ) 非負性  對每個事件，均有，

 (ⅱ) 規範性  ，

 (ⅲ) 可列可加性  對於任意兩兩互斥的事件,,…,,…，均有∪∪…∪∪…）=，

則稱為事件的機率。

    2．機率的性質

（1），

註：其逆不真，即機率為0的事件不一定是不可能事件。

（2）有限可加性  對於任意兩兩互斥的事件,,…,，均有∪∪…∪）=，

（3）若，則有，，

註：當條件不滿足時，一般的，但是有。

（4）對於任意事件，，

（5）對於任意事件，，

（6）加法公式  對於任意事件和，有

，推廣如下：

 ∪∪…∪）=+

+