證明題-演算法概論8.3證明吝嗇SAT問題

吝嗇SAT問題：給定一組子句（每個子句都是其中文字的析取）和整數k，求一個最多有k個變數為true的滿足賦值——如果該賦值存在。證明吝嗇問題是NP-完全問題。

解題思路
1.什麼是SAT問題
假設我們有這樣一組子句:
(a⋃b⋃c)⋂(a⋃b¯)⋂(b⋃c¯)(a¯⋂c)⋂(a¯⋃b¯⋃c¯)
我們需要做的就是找到a,b,c的取值（true or false）使得該運算式的結果是true,假設a,b,c都是true的話，那麼整個運算式的取值就是false,不難發現，這個運算式不存在一個合適的abc的取值使得整個式子為true，對於這個問題而言，我們需要搜尋所有取值組合才能確定是否能確定是否存在一個組合可以使得該式子為true，如果不存在我們就返回不存在，如果存在我們就返回這個組合，用窮舉搜尋的方法複雜度是O(2n)，如果我們能找到一個簡單的演算法能夠使得該演算法的複雜度降到多項式時間的話，那麼我們就認為該問題是p問題，但我們暫且認為該問題是個np問題，因為np問題至今無法把其複雜度降下來，其變種倒是有多項式的解法。、

2.吝嗇SAT問題的理解
吝嗇SAT問題其實就是SAT問題的一個變種，就比如仍然是上一個問題，現在多了一個變數，這個變數就是k,我
們需要確定的是我們不能多於k個true個變數。

3.基本步驟
要證明吝嗇SAT是NP-完全問題，首先證明吝嗇SAT是NP問題，然後證明SAT是NP-完全問題，再將SAT歸約成吝嗇SAT。

4.證明過程
（1）前提條件
我們假設(f,k)為吝嗇SAT的一個執行個體，x為一組賦值，也就是說，f是SAT的一個執行個體（包含k個變數），由於x是否可以使(f,k)為真的解是可在多項式時間內驗證的，所以吝嗇SAT是NP問題
（2）目標
SAT規約到吝嗇SAT，即證：
x是f的解 若且唯若 x是(f,k)的解
（SAT） （吝嗇SAT）
（3）充分性證明
假設x是f的解，則至多有k個變數為真，x賦給(f,k)也為真，所以x是(f,k)的解
（4）必要性證明
假設x是(f,k)的解，顯然x也是f的解
（5）結論

吝嗇 SAT也是一個NP-完全問題