Python + Matplotlib 繪製 Aztec Diamond 圖的隨機鋪砌

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一個 $n$ 階的 Aztec Diamond 圖，是指依次將 $2,4,\ldots,2n,2n,\ldots,4,2$ 個單位方格摞在一起得到的對稱圖形（於是圖中一共有 $2n(n+1)$ 個單位方格）。是 $n=5$ 時候的例子：

 

對一個 $n$ 階的 Aztec Diamond 圖，用 $1\times 2$ 的多米諾骨牌鋪砌它，總共有 $2^{n(n+1)}$ 種不同的方法。（這裡不考慮對稱性，比如全部用水平的骨牌鋪砌和全部用豎直的骨牌鋪砌，兩種方法是不同的）

一個有趣的問題是，對給定的 $n$ 階 Aztec Diamond，怎樣從它的所有 $2^{n(n+1)}$ 種鋪砌中等機率地任選一種？當 $n$ 很大時，這個事情並不好做。

下面這個圖顯示了 $n=80$ 時 Aztec Diamond 圖的一個隨機鋪砌，它使用的是 Propp 論文中的 Domino Shuffling 演算法：

 

你可以看到圖中出現了一個近似圓形的地區，在地區的內部，骨牌的排列是變化的，而地區外部則是 "凍結" 的，這就是所謂的 "北極圈" 現象。

 

這個圖是我用 Python + Matplotlib 繪製的，代碼在這裡下載：domino.py。你可以把程式最後的參數 80 改成其它的整數（最好不要超過 200）。Matplotlib 庫繪圖的效率並不高，$n$ 很大時比較吃力，用 Cairo 庫效率要高很多，但是 Cairo 的代碼不如 Matplotlib 簡潔。

 

一點注意事項：

• Matplotlib 的參數 ‘aspect‘ 要設定為 1，否則它輸出的圖形會展開。
• 程式中，用一個字典的資料結構儲存鋪砌，鍵 $(j,k)$ 表示以座標整點 $(j,k)$ 為左下角的單位正方形，其值 $‘n‘,‘s‘,‘w‘,‘e‘,‘x‘$ 表示骨牌的狀態，其中 $‘x‘$ 表示 "洞"。
• 在 create 一步中，當把 $2\times2$ 的 "窟窿" 用一對骨牌填充時，一定要注意所用骨牌的狀態，它們是一對方向相反的骨牌。

 

關於這個演算法的更多故事，我會在後面的文章中介紹。

 

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