Python乘法密碼

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乘法密碼

屬於替換密碼技術的一種
乘法密碼技術的加密變換：\[ Ek(Ai)=Aj \]\[j=ik(mod n) ,gcd(k,n)=1\]

• 0<k<n
• k與n互素，即要滿足gcd(k, n)=1，否則不存在模逆元，不能正確解密

設明文訊息為M，訊息元素為m元素下標為i;
則密文訊息為C，密文元素為c元素下標為j; \[c=i*k mod n\]

乘法密碼的密碼空間大小，即小於n且與n互素的非負整數的個數，是\(φ(n)\)，\(φ(n)\)是歐拉函數。
當n為26字母，則與26互素的數是\[{1、3、5、7、9、11、15、17、19、21、23、25}\]

，即\(φ(n)=12\) 因此乘法密碼的密鑰空間為12。
注意：k=1時 加密變換為恒等變換（即無變化）
乘法密碼也稱採樣密碼，因為密文字母表是將明文字母按照下標每隔k位取出一個字母排列而成。
例如對26個字母產生密碼錶（下標由0開始，0-25）
取k=9

• 明文字母 \[a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z\]
• 數組下標 \[0 ,1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 \]
• 密文字母 \[a ,j, s, b, k, t, c, l, u, d, m, v, e, n, w, f, o, x, g, p, y, h, q, z, i, r, \]
• 數組下標 \[0 ,9, 18, 1, 10, 19, 2, 11, 20, 3, 12, 21, 4, 13, 22, 5, 14, 23, 6, 15, 24, 7, 16, 25, 8, 17 \]

正如上所述，從下標0開始， 明文a: 0X9%26=0 -->[0]=a 明文b: 1X9%26=9 -->[9]=j
其實即是通過公式算出密文密碼錶，其意義與明文表相一一對應。

乘法密碼技術的解密變換： \[Dk(Aj)=Ai\]
\[i=jX(mod n)\]

? \(X\)為\(k\)的逆元（最小正整數）
對於正整數 k和n，如果有\(kX≡1(mod n)\)，那麼把這個同餘方程中\(X\)的最小正整數解叫做\(k模n\)的逆元。

由於\(k\)的取值是從\(φ(n)\) 密碼空間中獲得，則必定k 123 = 1*123+ 0*11

11 = 0*123+ 1*11 |11
2 = 1*123+ (-11)*11 |5
1 = (-5)*123+ 56*11
聰明的你, 一定看出來了吧. 對! 我們將123和11都表示成 x * 123 + y * 11 的 格式, 然後相減, 在最右側一欄寫上每次減去的被減數的倍數. 依次進行, 知道減數變為1為止. 然後我們取第三列的最下面的一個數, 再對123 模數 即得11 對123的模逆.

Python實現求逆元：

from math import floordef inverseElement(k2, Z=26):    '''    to get the inverse element for k2 % Z    '''    a = [Z, 1, 0]    b = [k2, 0, 1]    while(1):        if b[0] == 1:            break        temp = b        q = floor(a[0] / b[0])        b = [i * q for i in b]        b = [a[i] - b[i] for i in range(len(b))]        a = temp    return b[-1] % Z

完整的加密解密代碼：

# -*- coding:utf-8 -*-from math import floordef gcd(x, y):    if x < y:        t = x        x = y        y = t    if y == 0:        return x    if y != 0:        return gcd(y, x % y)    else:        # print(x)        return xdef str2num(str):    '''    TODO:transfermation between the unicode num and str    '''    strL = list(str)    numL = [ord(i) - 97 for i in strL]    return numLdef num2str(num):    numL = [i + 97 for i in num]    strL = ''.join([chr(int(i)) for i in numL])    return strLdef inverseElement(k2, Z=26):    '''    to get the inverse element for k2 % Z    '''    a = [Z, 1, 0]    b = [k2, 0, 1]    while(1):        if b[0] == 1:            break        temp = b        q = floor(a[0] / b[0])        b = [i * q for i in b]        b = [a[i] - b[i] for i in range(len(b))]        a = temp    return b[-1] % Zdef encrypted(m, k2, Z=26):    if m not in range(26):        return m    else:        return (k2 * m) % Zdef decrypted(c, k2, Z=26):    if c not in range(26):        return c    else:        return (inverseElement(k2, Z) * (c)) % Zif __name__ == '__main__':    # 加密部分    str0 = 'hello the cruel world!'    num0 = str2num(str0.lower())    num1 = [encrypted(i, 11) for i in num0]    str1 = num2str(num1)    print('密文 %s' % str1)    # 解密部分    str0 = str1    num0 = str2num(str0.lower())    num1 = [decrypted(i, 11) for i in num1]    str1 = num2str(num1)    print('明文 %s' % str1)

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