python編程通過蒙特卡洛法計算定積分詳解

這篇文章主要介紹了python編程通過蒙特卡洛法計算定積分詳解，具有一定借鑒價值，需要的朋友可以參考下。

想當初，考研的時候要是知道有這麼個好東西，計算定積分。。。開玩笑，那時候計算定積分根本沒有這麼簡單的。但這確實給我開啟了一種思路，用程式設計語言去解決更多更複雜的數學問題。下面進入正題。

如所示，計算區間[a b]上f(x)的積分即求曲線與X軸圍成紅色地區的面積。下面使用蒙特卡洛法計算區間[2 3]上的定積分：∫(x2+4*x*sin(x))dx

# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(x):  return x**2 + 4*x*np.sin(x) def intf(x):   return x**3/3.0+4.0*np.sin(x) - 4.0*x*np.cos(x)a = 2;  b = 3; # use N draws N= 10000X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to b Y =f(X)  # CALCULATE THE f(x) # 蒙特卡洛法計算定積分：面積=寬度*平均高度Imc= (b-a) * np.sum(Y)/ N;exactval=intf(b)-intf(a)print "Monte Carlo estimation=",Imc, "Exact number=", intf(b)-intf(a)# --How does the accuracy depends on the number of points(samples)? Lets try the same 1-D integral # The Monte Carlo methods yield approximate answers whose accuracy depends on the number of draws.Imc=np.zeros(1000)Na = np.linspace(0,1000,1000)exactval= intf(b)-intf(a)for N in np.arange(0,1000):  X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to b   Y =f(X)  # CALCULATE THE f(x)   Imc[N]= (b-a) * np.sum(Y)/ N;   plt.plot(Na[10:],np.sqrt((Imc[10:]-exactval)**2), alpha=0.7)plt.plot(Na[10:], 1/np.sqrt(Na[10:]), 'r')plt.xlabel("N")plt.ylabel("sqrt((Imc-ExactValue)$^2$)")plt.show()

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Monte Carlo estimation= 11.8181144118 Exact number= 11.8113589251

從可以看出，隨著採樣點數的增加，計算誤差逐漸減小。想要提高類比結果的精確度有兩個途徑：其一是增加實驗次數N；其二是降低方差σ2. 增加實驗次數勢必使解題所用電腦的總時間增加，要想以此來達到提高精度之目的顯然是不合適的。下面來介紹重要抽樣法來減小方差，提高積分計算的精度。

重要性抽樣法的特點在於，它不是從給定的過程的機率分布抽樣，而是從修改的機率分布抽樣，使對類比結果有重要作用的事件更多出現，從而提高抽樣效率，減少花費在對類比結果無關緊要的事件上的計算時間。比如在區間[a b]上求g(x)的積分，若採用均勻抽樣，在函數值g(x)比較小的區間內產生的抽樣點跟函數值較大處區間內產生的抽樣點的數目接近，顯然抽樣效率不高，可以將抽樣機率密度函數改為f(x)，使f(x)與g(x)的形狀相近，就可以保證對積分計算貢獻較大的抽樣值出現的機會大於貢獻小的抽樣值，即可以將積分運算改寫為：

x是按照機率密度f(x)抽樣獲得的隨機變數，顯然在區間[a b]內應該有：

因此，可容易將積分值I看成是隨機變數 Y = g(x)/f(x)的期望，式子中xi是服從機率密度f(x)的採樣點

下面的例子採用一個常態分佈函數f(x)來近似g(x)=sin(x)*x，並依據常態分佈選取採樣值計算區間[0 pi]上的積分個∫g(x)dx

# -*- coding: utf-8 -*-# Example: Calculate ∫sin(x)xdx# The function has a shape that is similar to Gaussian and therefore# we choose here a Gaussian as importance sampling distribution.from scipy import statsfrom scipy.stats import normimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltmu = 2;sig =.7;f = lambda x: np.sin(x)*xinfun = lambda x: np.sin(x)-x*np.cos(x)p = lambda x: (1/np.sqrt(2*np.pi*sig**2))*np.exp(-(x-mu)**2/(2.0*sig**2))normfun = lambda x: norm.cdf(x-mu, scale=sig)plt.figure(figsize=(18,8)) # set the figure size# range of integrationxmax =np.pi xmin =0# Number of draws N =1000# Just want to plot the functionx=np.linspace(xmin, xmax, 1000)plt.subplot(1,2,1)plt.plot(x, f(x), 'b', label=u'Original $x\sin(x)$')plt.plot(x, p(x), 'r', label=u'Importance Sampling Function: Normal')plt.xlabel('x')plt.legend()# =============================================# EXACT SOLUTION # =============================================Iexact = infun(xmax)-infun(xmin)print Iexact# ============================================# VANILLA MONTE CARLO # ============================================Ivmc = np.zeros(1000)for k in np.arange(0,1000):  x = np.random.uniform(low=xmin, high=xmax, size=N)  Ivmc[k] = (xmax-xmin)*np.mean(f(x))# ============================================# IMPORTANCE SAMPLING # ============================================# CHOOSE Gaussian so it similar to the original functions# Importance sampling: choose the random points so that# more points are chosen around the peak, less where the integrand is small.Iis = np.zeros(1000)for k in np.arange(0,1000):  # DRAW FROM THE GAUSSIAN: xis~N(mu,sig^2)  xis = mu + sig*np.random.randn(N,1);  xis = xis[ (xis<xmax) & (xis>xmin)] ;  # normalization for gaussian from 0..pi  normal = normfun(np.pi)-normfun(0)   # 注意:機率密度函數在採樣區間[0 pi]上的積分需要等於1  Iis[k] =np.mean(f(xis)/p(xis))*normal  # 因此,此處需要乘一個係數即p(x)在[0 pi]上的積分plt.subplot(1,2,2)plt.hist(Iis,30, histtype='step', label=u'Importance Sampling');plt.hist(Ivmc, 30, color='r',histtype='step', label=u'Vanilla MC');plt.vlines(np.pi, 0, 100, color='g', linestyle='dashed')plt.legend()plt.show()

可以看出曲線sin(x)*x的形狀和常態分佈曲線的形狀相近，因此在曲線峰值處的採樣點數目會比曲線上位置低的地方要多。精確計算的結果為pi，從上面的右圖中可以看出：兩種方法均計算定積分1000次，靠近精確值pi=3.1415處的結果最多，離精確值越遠數目越少，顯然這符合常規。但是採用傳統方法(紅色長條圖)計算出的積分值方的差明顯比採用重要抽樣法(藍色長條圖)要大。因此，採用重要抽樣法計算可以降低方差，提高精度。另外需要注意的是：關於函數f(x)的選擇會對計算結果的精度產生影響，當我們選擇的函數f(x)與g(x)相差較大時，計算結果的方差也會加大。