Python遞迴（recursion）專題

我想把Python中的遞迴作為一個專題討論一下。我在學習的時候，嘗試使用“Python遞迴”作為關鍵詞，在Google和百度中搜尋，發現結果大部分是對某個具體例子的遞迴應用討論，而對我這樣的小白來說，切入點有點高。而我現在需要做的，是從基礎概念開始。

想到討論遞迴問題，是因為那個著名的“字典序”問題，但還是先從最基本的遞迴概念開始。我希望我討論完了這個，自己對遞迴也有一個基本的瞭解了。

遞迴的概念很簡單，如果函數包含了對其自身的調用，該函數就是遞迴的。拗口一點的定義是，如果一個新的調用能在相同過程中較早的調用結束之前開始，那麼個該過程就是遞迴。兩個定義都來自《Python核心編程第二版》的第304頁。

該書應用了一個經典的例子，來講述遞迴的應用：

階乘函數的定義是：
N! = factorial(N) = 1 * 2 * 3 * ... * N

那麼可以用這種方法來看階乘函數：
factorial(N) = N!
             = N * (N - 1)!
             = N * (N - 1) * (N - 2)!
             = N * (N - 1) * (N - 2) * ... * 3 * 2 * 1
             = N * factorial(N - 1)

於是我們有了階乘函數的遞迴版本：

def factorial(n):
    if n == 0 or n == 1: return 1
    else: return (n * factorial(n - 1))

print factorial(6)

可以很輕易的得到，6!的結果是720。

上面就是這本書關於遞迴的內容了，但關於Python的遞迴不僅僅就這麼一點知識吧？

來看看這個問題：

還是這個函數factorial(N)，讓我們試試N = 999和N = 1000，問題來了，N = 999時能輸出正確答案，但當N = 1000時，就出現下面的錯誤了：
RuntimeError: maximum recursion depth exceeded
於是，請記住，預設的Python有一個可用的遞迴深度的限制，以避免耗盡電腦中的記憶體。在我的電腦，這是1000。

接著再來看看在我的第一個遞迴程式中遇到的問題：

為了試試手，我打算寫一個簡單Function Compute那個傳統的問題，1 + 2 + 3 + ... + 100，當然，必須使用遞迴來做：

我的指令碼是這樣的，結果出錯了。

>>> def add(n):
...     if n > 0: return n + add(n - 1)
...
>>> add(100)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in ?
  File "<stdin>", line 2, in add
  File "<stdin>", line 2, in add
  ...
  File "<stdin>", line 2, in add
TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'int' and 'NoneType'

上網問了之後，得知應該這樣寫這個指令碼：
>>> def add(n):
... if n <= 0: return 0 
... if n > 0: return n + add(n - 1)
...    
>>> add(100)
5050

我本意想偷懶，在n小於等於零的時候，不返回任何東西。但Pyhton所做的和我想的卻不一樣。如果一個Python函數被設計成不返回任何東西，它會返回None。

這裡插入一些關於遞迴的網方解釋，因為我是從網上搜到的這些內容：
（1）遞迴就是在過程或函數裡調用自身；
（2）在使用遞迴策略時，必須有一個明確的遞迴結束條件，稱為遞迴出口。

遞迴演算法一般用於解決三類問題：
（1）資料的定義是按遞迴定義的。（比如Fibonacci函數）
（2）問題解法按遞迴演算法實現。（回溯）
（3）資料的結構形式是按遞迴定義的。（比如樹的遍曆，圖的搜尋） 　　

遞迴的缺點：遞迴演算法解題的運行效率較低。在遞迴調用的過程當中系統為每一層的返回點、局部量等開闢了棧來儲存。遞迴次數過多容易造成棧溢出等。

【推薦】網文《精通遞迴程式設計》：
http://www.ibm.com/developerworks/cn/linux/l-recurs.html

遞迴程式的基本步驟，來自上面這篇文章

每一個遞迴程式都遵循相同的基本步驟：
1.初始化演算法。遞迴程式通常需要一個開始時使用的種子值（seed value）。要完成此任務，可以向函數傳遞參數，或者提供一個入口函數，這個函數是非遞迴的，但可以為遞迴計算設定種子值。
2.檢查要處理的當前值是否已經與基準條件相匹配（base case）。如果匹配，則進行處理並傳回值。
3.使用更小的或更簡單的子問題（或多個子問題）來重新定義答案。
4.對子問題運行演算法。
5.將結果合并入答案的運算式。
6.返回結果。

基準條件（base case）。基準條件是遞迴程式的最底層位置，在此位置時沒有必要再進行操作，可以直接返回一個結果。所有遞迴程式都必須至少擁有一個基準條件，而且必須確保它們最終會達到某個基準條件；否則，程式將永遠運行下去，直到程式缺少記憶體或者棧空間。

自己總結了一下，要寫一個遞迴的程式，需要這樣做：
1.一個基準條件。請在遞迴函式的一開始就處理這個基準條件。
2.一系列的規則，使對遞迴函式的每次調用都趨進於直至達到這個基準條件。

好吧，現在看來，基本概念已經差不多了，在回到“字典序”問題之前，先看看這個全排列的問題。題目要求很簡單，輸入n個數，能自動列印出全排列（Permutation）。比如輸入1，2，3，那它的全排列就是123，132，213，231，312，321。

【參考】

在《Pyhon核心編程》第二版第209頁第八章練習 續 中，題8-6在函數findPrimeFactors中使用了遞迴，可以參考： http://www.cnblogs.com/balian/archive/2012/01/11/2318679.html

 

【推薦】部落格：CoderZh的技術部落格
http://www.cnblogs.com/coderzh/articles/1202040.html