趣味題系列（5）：

題目：給你一個長度為N的鏈表。N很大，但你不知道N有多大。你的任務是從這N個元素中隨機取出k個元素。你只能遍曆這個鏈表一次。你的演算法必須保證取出的元素恰好有k個，且它們是完全隨機的（出現機率均等）。

 

解答：

題其實是編程珠璣習題12.10的推廣，原題既是k=1的情況，關鍵就是想到可以替換以前已經選擇的元素。
按照這個思路：
1. 對於前k個，全部選擇，即選擇集S裡為前k個元素
2. 第k+i(i>0)個時，令r1=rand(1,k+i)，如果r1>k，則保持現有的選擇集合S不變
3. 如果r1<=k, 令r2=rand(1,k)，並讓第k+i元素（即當前元素）替換集合S裡第r2個元素

歸納：
1. 如果N=k, 前k個全部選擇，被選擇機率p=1
2. 如果N=k+1, 第k+1個被選擇的機率為p=k/(k+1)，前k個被選擇的機率為
p=1*(1/(k+1)+(k/(k+1))*((k-1)/k)) = k/(k+1)
3. 如果N=k+i，第k+i個被選擇的機率為p=k/(k+i)=k/N，前k+i-1(N-1)個被選擇的機率為
p=k/(k+i-1) * (i/(k+i) + (k/(k+i) * (k-1)/k) = k/(k+i-1) * (i/(k+i) +
(k-1)/(k+i)) =
k/(k+i-1) * (k+i-1)/(k+i) = k/(k+i) = k/N