Python之遞迴函式

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Python之遞迴函式

在函數內部，可以調用其他函數。如果一個函數在內部調用自身本身，這個函數就是遞迴函式。

舉個例子，我們來計算階乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函數fact(n)表示，可以看出：

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以，fact(n)可以表示為n x fact(n-1)，只有n=1時需要特殊處理。

於是，fact(n)用遞迴的方式寫出來就是：

def fact(n):    if n==1:        return 1    return n * fact(n - 1)

上面就是一個遞迴函式。可以試試：

>>> fact(1)1>>> fact(5)120>>> fact(100)93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我們計算fact(5)，可以根據函數定義看到計算過程如下：

===> fact(5)===> 5 * fact(4)===> 5 * (4 * fact(3))===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))===> 5 * (4 * (3 * 2))===> 5 * (4 * 6)===> 5 * 24===> 120

遞迴函式的優點是定義簡單，邏輯清晰。理論上，所有的遞迴函式都可以寫成迴圈的方式，但迴圈的邏輯不如遞迴清晰。

使用遞迴函式需要注意防止棧溢出。在電腦中，函數調用是通過棧（stack）這種資料結構實現的，每當進入一個函數調用，棧就會加一層棧幀，每當函數返回，棧就會減一層棧幀。由於棧的大小不是無限的，所以，遞迴調用的次數過多，會導致棧溢出。可以試試fact(1000)：

>>> fact(1000)Traceback (most recent call last):  File "<stdin>", line 1, in <module>  File "<stdin>", line 4, in fact  ...  File "<stdin>", line 4, in factRuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

解決遞迴調用棧溢出的方法是通過尾遞迴最佳化，事實上尾遞迴和迴圈的效果是一樣的，所以，把迴圈看成是一種特殊的尾遞迴函式也是可以的。

尾遞迴是指，在函數返回的時候，調用自身本身，並且，return語句不能包含運算式。這樣，編譯器或者解譯器就可以把尾遞迴做最佳化，使遞迴本身無論調用多少次，都只佔用一個棧幀，不會出現棧溢出的情況。

上面的fact(n)函數由於return n * fact(n - 1)引入了乘法運算式，所以就不是尾遞迴了。要改成尾遞迴方式，需要多一點代碼，主要是要把每一步的乘積傳入到遞迴函式中：

def fact(n):    return fact_iter(n, 1)def fact_iter(num, product):    if num == 1:        return product    return fact_iter(num - 1, num * product)

可以看到，return fact_iter(num - 1, num * product)僅返回遞迴函式本身，num - 1和num * product在函數調用前就會被計算，不影響函數調用。

fact(5)對應的fact_iter(5, 1)的調用如下：

===> fact_iter(5, 1)===> fact_iter(4, 5)===> fact_iter(3, 20)===> fact_iter(2, 60)===> fact_iter(1, 120)===> 120

尾遞迴調用時，如果做了最佳化，棧不會增長，因此，無論多少次調用也不會導致棧溢出。

遺憾的是，大多數程式設計語言沒有針對尾遞迴做最佳化，Python解譯器也沒有做最佳化，所以，即使把上面的fact(n)函數改成尾遞迴方式，也會導致棧溢出。

小結

使用遞迴函式的優點是邏輯簡單清晰，缺點是過深的調用會導致棧溢出。

針對尾遞迴最佳化的語言可以通過尾遞迴防止棧溢出。尾遞迴事實上和迴圈是等價的，沒有迴圈語句的程式設計語言只能通過尾遞迴實現迴圈。

Python標準的解譯器沒有針對尾遞迴做最佳化，任何遞迴函式都存在棧溢出的問題。

 

練習

漢諾塔的移動可以用遞迴函式非常簡單地實現。

請編寫move(n, a, b, c)函數，它接收參數n，表示3個柱子A、B、C中第1個柱子A的盤子數量，然後列印出把所有盤子從A藉助B移動到C的方法，例如：

# -*- coding: utf-8 -*-def move(n, a, b, c):    if n == 1:        print(a, ‘-->‘, c)

# 期待輸出:# A --> C# A --> B# C --> B# A --> C# B --> A# B --> C# A --> Cmove(3, ‘A‘, ‘B‘, ‘C‘)

#!/usr/bin/env python3# -*- coding: utf-8 -*-# 利用遞迴函式計算階乘# N! = 1 * 2 * 3 * ... * Ndef fact(n):    if n == 1:        return 1    return n * fact(n-1)print(‘fact(1) =‘, fact(1))print(‘fact(5) =‘, fact(5))print(‘fact(10) =‘, fact(10))# 利用遞迴函式移動漢諾塔:def move(n, a, b, c):    if n == 1:        print(‘move‘, a, ‘-->‘, c)    else:        move(n-1, a, c, b)        move(1, a, b, c)        move(n-1, b, a, c)move(4, ‘A‘, ‘B‘, ‘C‘)

 

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