【轉載】Ansys中的阻尼

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ANSYS動力學分析中提供了各種的阻尼形式，這些阻尼在分析中是如何計算，並對分析有什麼影響呢？本文將就此做一些說明何介紹.

一． 首先要清楚，在完全方法和模態疊加法中定義的阻尼是不同。因為前者使用節點座標，而後者使用總體座標.

1． 在完全的模態分析、諧相應分析和瞬態分析中，震動方程為：

阻尼矩陣為下面的各阻尼形式之和：

α為常值品質阻尼（α阻尼）（ALPHAD命令）
β為常值剛度阻尼（β阻尼）（BETA命令）
ξ為常值阻尼比，f為當前的頻率（DMPRAT命令）
βj為第j種材料的常值剛度矩陣係數（MP,DAMP命令）
[C]為單元阻尼矩陣（支援該形式阻尼的單元）

where: [C] = structure damping matrix 
α = mass matrix multiplier (input on ALPHAD command) 
[M] = structure mass matrix 
β = stiffness matrix multiplier (input on BETAD command) 
βc = variable stiffness matrix multiplier (see Equation 15–23) 
[K] = structure stiffness matrix 
Nm = number of materials with DAMP or DMPR input
   = stiffness matrix multiplier for material j (input as DAMP on MP command)
   = constant (frequency-independent) stiffness matrix coefficient for material j (input as   DMPR on MP command)
Ω = circular excitation frequency
Kj = portion of structure stiffness matrix based on material j 
Ne = number of elements with specified damping 
Ck = element damping matrix 
Cξ = frequency-dependent damping matrix (see Equation 15–21)

2． 對模態疊加方法進行的諧相應分析、瞬態分析何譜分析，動力學求解方程為：

每個模態產生有效阻尼比ξid而不是建立阻尼矩陣

α為常值品質阻尼
β為常值剛度阻尼
ξ為常值阻尼比
ξmi為第i個模態的常值阻尼比
ξj為第j個材料的阻尼係數
Ejs為第j個材料的應變能，ANSYS由{f}T[K]{f}計算得到。

二．對譜分析，阻尼僅僅包含在模態組合裡，而在計算模態係數的時候並沒有考慮。當使用模態疊加法時，材料阻尼被添加到擴充的模態中，因此，使用者必須在進行模態分析之前，就包括材料阻尼（MP,DAMP）並進行單元應力的計算（MXPAND命令）。

三．模態疊加法支援使用QR阻尼，但是使用者必須知道儘管是模態組合方法，阻尼在模態分析中已包含了，所以應該使用上面的完全阻尼矩陣[C]來計算阻尼。如果使用QR阻尼的的模態提取方法（MOPT,QRDAMP），並且在前處理或模態分析中指定了任何形式的阻尼，那麼ANSYS將在進行模態疊加時忽略阻尼。

四． 瞭解MP,DAMP在不同的情況下有不同的作用非常重要。

在完全分析中，材料阻尼代表了該材料的一個剛度矩陣乘子，與粘性阻尼（與頻率成線性關係，但針對所有的材料）類似。因此，在這種情況下，對單自由度結構，材料阻尼值等於ξ/πf或c/k。如果有多種材料，那麼，阻尼矩陣就是簡單得將材料的βj乘以相應的材料的剛度矩陣：

但是，在使用模態疊加法時材料阻尼值類似於結構阻尼（與頻率無關），也即材料阻尼值會等於單自由度體系的ξ。如果有多種材料，使用模態應變能方法（MSE）來計算系統的有效阻尼比：

也就是說，一個有效常值材料阻尼將被用於所有模態的計算。

五． 下面的表格列出了不同分析類型中可以用到的阻尼。

 

§3.8.3阻尼

大多數系統中存在阻尼，而且在動力學分析中應當指定阻尼。在ANSYS程式可以指定五種形式的阻尼：

·Aplha和Beta阻尼（Rayleigh阻尼）

·和材料相關的阻尼

·恒定的阻尼比

·振型阻尼

·單元阻尼

在ANSYS/Professional程式中只有恒定阻尼比和振型阻尼可用。可以在模型中指定多種形式的阻尼，程式按所指定的阻尼之和形成阻尼矩陣[C]。下表列出了在不同結構分析中可用的阻尼類型。

不同分析類型可用的阻尼 

分析類型	α , β阻尼 [ALPHAD, BETAD]	材料相關阻尼 [MP,DAMP]	恒定阻尼比 [DMPRAT]	振型阻尼 [MDAMP]	單元阻尼 [3] (COMBIN7等)
靜力學分析	N/A	N/A	N/A	N/A	N/A
模態分析
無阻尼	No[5]	No[5]	No[5]	No	No
有阻尼	Yes	Yes	No	No	Yes
諧響應分析
完全法	Yes	Yes	Yes	No	Yes
縮減法	Yes	Yes	Yes	No	Yes
模態疊加法	Yes[6]	Yes[4，6]	Yes[7]	Yes[7]	Yes[6]
瞬態分析
完全法	Yes	Yes	No	No	Yes
縮減法	Yes	Yes	No	No	Yes
模態疊加法	Yes[6]	Yes[4，6]	Yes[7]	Yes[7]	Yes[6]
譜分析
SPRS,MPRS[2]	Yes[1]	Yes	Yes	Yes	No
DDAM[2]	Yes[1]	Yes	Yes	Yes	No
PSD[2]	Yes	No	Yes	Yes	No
屈曲分析	N/A	N/A	N/A	N/A	N/A
子結構	Yes	Yes	No	No	Yes

 

N/A表示不能使用

[1]表示只可用β阻尼，不可用α阻尼

[2]表示阻尼只用於模態合并，不用於計算模態係數

[3]表示包括超單元阻尼矩陣

[4]表示如果經模態擴充轉換成了振型阻尼

[5]表示如果指定了，程式會計算出一個用於隨後的譜分析的有效阻尼比

[6]表示如果使用QR阻尼模態提取方法[MODOPT,QRDAMP]，在前處理或模態分析過程中指定任何阻尼，但ANSYS在執行模態疊加分析時將忽略任何阻尼。

[7]如果你使用QR阻尼模態提取方法[MODOPT,QRDAMP]，DMPART和MDAMP不能使用。

1. Alpha 阻尼 和 Beta 阻尼

Alpha阻尼和Beta阻尼用於定義瑞利（Rayleigh）阻尼常數α和β。阻尼矩陣是在用這些常數乘以品質矩陣[M]和剛度矩陣[K]後計算出來的。

命令 ALPHAD 和 BETAD 分別用於確定瑞利（Rayleigh）阻尼常數α和β。通常α和β的值不是直接得到的，而是用振型阻尼比  計算出來的。是某個振型i的實際阻尼和臨界阻尼之比。如果  是模態i的固有角頻率，則α和β滿足下列關係：

 

在許多實際問題中，Alpha阻尼（或稱品質阻尼）可以忽略（α=0）。這種情形下，可以由已知的和計算出β：

 

由於在一個載荷步中只能輸入一個β值，因此應該選取該載荷步中最主要的被啟用頻率來計算β值。

為了確定對應給定阻尼比ξ的α和β值，通常假定α和β之和在某個頻率範圍內近似為恒定值（見圖5）。這樣，在給定阻尼比ξ和一個頻率範圍ωi～ωj後，解兩個並列方程組便可求得α和β。

 

圖5瑞利阻尼

Alpha阻尼在模型中引入任意大品質時會導致不理想的結果。一個常見的例子是在結構的基礎上加一個任意大品質以方便施加加速度譜（用大品質可將加速度譜轉化為力譜）。Alpha阻尼係數在乘上品質矩陣後會在這樣的系統中產生非常大的阻尼力，這將導致譜輸入的不精確，以及系統響應的不精確。

Beta阻尼和材料阻尼在非線性分析中會導致不理想的結果。這兩種阻尼要和剛度矩陣相乘，而剛度矩陣在非線性分析中是不斷變化的。由此所引起的阻尼變化有時會和物理結構的實際阻尼變化相反。例如，存在由塑性響應引起的軟化的物理結構通常相應地會呈現出阻尼的增加，而存在Beta阻尼的ANSYS模型在出現塑性軟化響應時則會呈現出阻尼的降低。

2. 和材料相關的阻尼

和材料相關的阻尼允許將Beta阻尼做為材料性質來指定[MP,DAMP]。但要注意在譜分析[ANTYPE,SPECTR]中的MP,DAMP是指定和材料相關的阻尼比ξ，而不是β。同樣要注意對於多材料單元如SOLID46,SOLID65,SHELL91和SHELL99，只能對單元整體指定一個β值，而不能對單元中的每一種材料都指定。在這些情形下，β是由單元的材料指標（用MAT命令設定）決定的，而不是由單元實常數MAT指向的材料決定的。

3. 恒定阻尼比

恒定阻尼比是在結構中指定阻尼的最簡單的方法。它表示實際阻尼和臨界阻尼之比，是用DMPRAT命令指定的小數值。DMPRAT只可用於譜分析、諧響應分析和模態疊加法瞬態動力學分析。

4. 振型阻尼

振型阻尼可用於對不同的震動模態指定不同的阻尼比。它用MDAMP命令指定且只能用於譜分析和模態疊加法瞬態動力學分析、諧響應分析。

5. 單元阻尼

單元阻尼在用到有粘性阻尼特徵的單元類型時會涉及到，如單元COMBIN7,　COMBIN14,COMBIN37,COMBIN40等。

關於阻尼的更詳細描述參見<<ANSYS理論參考手冊>>。

 

 

阻尼是動力分析的一大特點，也是動力分析中的一個易於引起困惑之處，而且由於它只是影響動力響應的衰減，出了錯不容易覺察。阻尼的本質和表現是相當複雜的，相應的模型也很多。ANSYS提供了強大又豐富的阻尼輸入，但也正以其強大和豐富使初學者容易發生迷惑這裡介紹各種阻尼的數學模型在ANSYS中的實現，與在ANSYS中阻尼功能的使用。 
1．比例阻尼
最常用也是比較簡單的阻尼大概是Rayleigh阻尼，又稱為比例阻尼。它是多數實用動力分析的首選，對許多實際工程應用也是足夠的。在ANSYS裡，它就是 阻尼與 阻尼之和，分別用ALPHD與BETAD命令輸入。已知結構總阻尼比是 ，則用兩個頻率點上 阻尼與 阻尼產生的等效阻尼比之和與其相等，就可以求出近似的 阻尼與 阻尼係數來用作輸入：
（5.1.1）
求比例阻尼係數的擬合公式
用方程組（5.1.1）可以得到 阻尼與 阻尼係數值，然後用ALPHD與BETAD命令輸入，這種阻尼輸入既可以做full（完全）法的分析，也可以作減縮法與振型疊加法的分析，都是一樣的有效。
但是儘管 阻尼與 阻尼概念簡單明確，在使用中也要小心一些可能的誤區。首先， 阻尼與品質有關，主要影響低階振型，而 阻尼與剛度有關，主要影響高階振型；如果要做的是非線性瞬態分析，同時剛度變化很大時，那麼使用 阻尼很可能會造成收斂上的困難；一樣的理由，有時在使用一些計算技巧時，比如行波效應分析的大品質法，加上了虛假的大人工品質，那麼就不可以使用 阻尼。同樣，在模型裡加上了剛性串連時，也應該檢查一下 阻尼會不會造成一些虛假的計算結果。
2．阻尼陣的計算
ANSYS中有多種辦法可以輸入阻尼特性。先概括幾個在結構分析中常用的輸入阻尼的命令：
ALPHAD： 輸入 阻尼參數
BETAD： 輸入 阻尼參數
DMPRAT： 輸入全結構的阻尼比 
MDAMP： 輸入與各頻率的振型對應的模態阻尼比
MP，DAMP 輸入對應於某種材料的材料阻尼??。
與以上幾種命令的輸入對應的ANSYS計算的總阻尼陣[C]是：
（5.1.2）
ANSYS計算阻尼矩陣的公式
其中m是結構中有阻尼的材料種類數，n是具有特有阻尼的單元類型數。前兩項是用 與 定義的Rayleigh阻尼，第三項是與全結構的阻尼比 對應的阻尼陣，第四項是材料阻尼，最後一項是一些單元特有的單元阻尼陣。
3．粘性阻尼比
粘性阻尼表現為類似物體在粘性流體中運動時的阻力，與速度成正比。
（5.1.3）
粘性阻尼力
對單自由度系統，c就是粘性阻尼係數，對多自由度系統，就是阻尼矩陣[C]。[C]是定義結構阻尼特性的最基本形式，然而對粘性阻尼，很少有直接定義阻尼陣[C]的，阻尼比才是定義粘性阻尼最簡捷的方法。在ANSYS中，既可以定義在結構座標系下的全結構阻尼比（DMPRAT命令），也可以在模態座標下對各個模態定義各自的模態阻尼比（MDAMP命令）。ANSYS最終計算的各模態相應的模態阻尼比是MDAMP定義的模態阻尼比與DMPRAT定義的全結構阻尼比的疊加。
DMPRAT與MDAMP都是只對響應譜分析、諧分析及使用模態疊加法的瞬態分析有效，它們所對應的阻尼陣[C]是隨頻率不同而變化的阻尼陣。已知模態阻尼比 後，則對應的阻尼陣[C]用下式求出：
（5.1.4）
與輸入的模態阻尼比對應的阻尼矩陣
其中 是第i個振型向量， 是對應的模態頻率。
值得注意的是上述公式只有理論意義，在振型疊加中是直接使用定義的振型阻尼比與全結構阻尼比，沒有哪個程式會用公式（3）去反求出阻尼陣來。（也許某些程式裡可以反求出阻尼陣來，但至少ANSYS沒有這麼做）。所以在做Full（完全）積分法的瞬態分析時，用阻尼比定義的阻尼都被程式忽略掉了，那麼許多時候我們需要用一個全結構的阻尼比去做full法的瞬態分析計算時間，（如一些規範上規定某些結構可以用0.005~0.05的阻尼比做分析），該怎麼辦呢？這時候一個簡單的辦法是用 阻尼與 阻尼來逼近一個常數阻尼比。

圖5.1 用ALPHD與BETAD來擬合常數阻尼比
選定 與 ，就可以用公式（1）計算出做輸入用的ALPHD與BETAD值來。
4．材料阻尼
與其它幾種阻尼不同的是，材料阻尼是在材料參數裡面進行定義的（命令：MP,DAMP），材料阻尼又叫滯回阻尼，其最顯著的特點是與結構響應頻率無關。


圖5.2 兩種阻尼與頻率的關係
許多文獻上常把它寫成複數剛度的形式： 。其中k是結構剛度， ， 稱做材料阻尼係數（又叫結構阻尼係數）。
在單自由度情況，品質m做簡諧震動時， （c是對應的粘性阻尼係數），因此得到 對應的阻尼比為：
（5.1.5）
材料阻尼係數與粘性阻尼比的關係式
（在日本的結構減震規範中，用來定義阻尼的減衰係數就是此材料阻尼係數 。）
在ANSYS裡，它是剛度矩陣的乘子，產生的阻尼陣是各材料對應剛度的加權和。
（5.1.6）
ANSYS計算材料阻尼對應阻尼矩陣的公式
很明顯，它對應的阻尼陣[C]是可以對角化的，所以既能在full（完全）法瞬態分析中使用，也可以在振型疊加法分析中使用。上一小節裡介紹了：ANSYS在做Full積分的瞬態分析時，用阻尼比定義的阻尼都被程式忽略掉，在許多時候，已知的是粘性阻尼的阻尼比，又要做full法的瞬態分析，那怎麼辦？此時一種辦法是把粘性阻尼比換算為材料阻尼係數再用MP，DAMP輸入。材料阻尼係數與粘性阻尼比的換算關係是： ，在單自由度情況下： （c是粘性阻尼係數）。



表5.1 常見材料的材料阻尼係數
純鋁 鋼 鉛 鑄鐵
0.00002~0.002 0.001~0.008 0.008~0.014 0.003~0.03

天然橡膠 硬橡膠 玻璃 混凝土
0.1~0.3 1.0 0.0006~0.002 0.01~0.06
以上材料來自：《結構震動分析》, C.F.比爾茨（作者對其使用不負任何責任）
金屬的阻尼是比較低的，不知道這算不算是鋼結構的一個缺點。一般來說高阻尼的金屬其強度延性硬度均低。但是也有例外，如錳銅合金其強度硬度延性阻尼都高，但是相應價格也很高。
5．模態阻尼比的計算
當採用模態疊加法時，ANSYS對模態阻尼比與結構阻尼比是直接使用的，對其它阻尼則是計算多種阻尼產生的模態阻尼比來計算各模態的響應。在各種阻尼輸入下，ANSYS程式計算出的第i個模態的總模態阻尼比是
（5.1.7）
ANSYS計算模態阻尼比的公式
其中前兩項是 阻尼與 阻尼對應的模態阻尼比，第三項是輸入的全結構阻尼比，第四項是輸入的模態阻尼比，最後一項是M種材料的材料阻尼係數 產生的模態阻尼比。其中 是第j種材料對應的模態應變能，在日本減震規範中，就是採用此此應變能公式來計算結構阻尼比的。
?注意：
如前所述，在做Full積分法的瞬態分析時，用阻尼比定義的阻尼都被ANSYS程式忽略掉了，所以同一個模型採用full法和模態疊加法的瞬態分析，ANSYS計算採用的阻尼可能不一樣，造成結果也有差別。
以下是結構分析中常用的幾種阻尼輸入的ANSYS命令流示範。
1）用MP,damp來輸入粘滯阻尼
DAMPRATO=0.025 ! 已知粘滯阻尼的阻尼比
LOSSMODM=2*DAMPRATO ! 粘滯阻尼的阻尼比乘以2是等價的材料阻尼係數(日
!本規範的“減衰係數”)
CRITFREQ=2.6 ! 此為粘性阻尼等效為材料阻尼時的換算頻率
MP_BETAD=DAMPRATO/(acos(-1)*CRITFREQ) ! 粘滯阻尼與頻率有關
/prep7
mp,damp,1,MP_BETAD !定義iscous damping，與頻率有關
/solu
antype,modal
modopt,lanb,1
! 要使模態計算考慮阻尼的影響，必須用材料阻尼，材料阻尼必須在求解前指定
! mxpand,,,,yes,選項！阻尼比輸入只在對求出的振型求反應再疊加中有用,
! ansys不會把阻尼比還原計算為阻尼陣[C]的
mxpand,1,,,yes
,,,
sole,

2）用MP,Damp輸入材料阻尼
DAMPRATO=0.025
LOSSMODM=2*DAMPRATO ! 材料阻尼係數，書上給的一般是LOSSMODM
/prep7
mp,damp,1,DAMPRATO !常數，如果已知的是材料阻尼係數LOSSMODM，就要除以2
/solu
antype,modal ! 使用模態疊加法
modopt,lanb,1
! important
mxpand,1,,,yes
,,,,
sole

3）用BETAD輸入粘滯阻尼（振型疊加法）
! MSUP method with BETAD
! BETAD is damping_ratio/pi*f, een for MSUP
DAMPRATO=0.025 ! 阻尼比
LOSSMODM=2*DAMPRATO !等效的材料阻尼係數
/prep7
! mp,damp,1,DAMPRATO
BETAD,DAMPRATO/(acos(-1)*442) ! 注意此公式！ 442是你給定的頻率值
/solu
antype,modal !模態分析
modopt,lanb,1
! important
mxpand,1,,,yes
lumpm,on
,,,,
sole
/solu
antype,harmic !諧分析
hropt, msup 
hrout, on, off
harfrq, FREQBEGN, FREQENDG
,,,sole

4）使用DMPRAT定義的整體結構的常數阻尼比，（模態疊加法）
! MSUP method with DMPRAT
! shows that DMPRAT is damping ratio
DAMPRATO=0.025 ！ 全結構阻尼比是0.025
LOSSMODM=2*DAMPRATO 
/prep7
!mp,damp,1,DAMPRATO
/solu
antype,modal ! 先做無阻尼振型分解
sole
/solu
antype,harmic
hropt,msup 
hrout,on,off
harfrq,FREQBEGN,FREQENDG
nsubst,NUM_STEP
kbc,1
dmprat,DAMPRATO ! 在這裡定義此阻尼比，常數
,,,,,,sole

5）用MP，DAMP定義粘性阻尼做FULL瞬態分析
! 粘性阻尼隨頻率增加而增加，高頻衰減快
! Full method with MP,DAMP
! shows that MP,DAMP with FULL is damping_ratio/pi*f
! As freq increases, damping is huge
DAMPRATO=0.025
LOSSMODM=2*DAMPRATO
CRITFREQ=480
MP_BETAD=DAMPRATO/(acos(-1)*CRITFREQ) ! 注意此公式
/prep7
mp,damp,1,MP_BETAD

6）用DMPRAT定義全結構常數阻尼比
! Full method with DMPRAT
DAMPRATO=0.025
LOSSMODM=2*DAMPRATO
CRITFREQ=480
MP_BETAD=DAMPRATO/(acos(-1)*CRITFREQ)
/prep7
et,1,1
! mp,damp,1,MP_BETAD ! 如果用材料阻尼形式輸入，就這樣輸入 
dmprat,DAMPRATO ！ 常數阻尼比
/solu
antype,modal !帶阻尼的振型分解
modopt,lanb,3
! important
mxpand,3,,,yes
lumpm,on
,,,
sole
/solu
antype,harmic
hropt,full ! full harmonic analysis

6．單元阻尼
許多單元具有單元阻尼，單元阻尼都是在相關單中繼資料中輸入。Ansys裡具有單元阻尼的單元有：
Beam4, Combin7, Link11, Combin14, Pipe16, Combin37, Fluid38, Combin40, Fluid79, Fluid80, Fluid81, Surf153, Surf154
還有使用者自訂單元特性矩陣Matrix27，除了可以定義為品質與剛度陣外，也一樣可以定義為阻尼陣。在Beam4等單元中的單元阻尼資料已經在前面兩章裡介紹過了。這裡簡單介紹一下前面沒有提到的幾種單元的阻尼資料。
1) COMBIN14單元
ET,4,COMBIN14 
R,4,10,0.01,0.02, ! 0.01是阻尼係數，0.02是非線性阻尼係數

7．摩擦阻尼
常用的Coulomb阻尼模型是：
（5.1.8）
Coulomb模型的摩擦力計算公式
此阻力的符號與接觸面相對運動的速度方向相反，它與結構運動無關，而與接觸面上正壓力大小和摩擦係數有關，並且通常靜摩擦係數和動摩擦係數是不一樣的。在許多結構動力問題中，摩擦阻尼是十分重要的，ANSYS有許多種可以類比摩擦的單元。然而，帶摩擦的分析一般是非線性分析。若不想做非線性分析，一種線性化的近似辦法是用摩擦力方程Fourier級數的第一項或前幾項作為等代粘性阻尼輸入。（摩擦阻尼的算例）
8．ANSYS的其它阻尼功能
流體阻尼,邊界阻尼等。
（註：文中公式丟失，建議參考Ansys 協助檔案及克拉夫《結構動力學》及杜修力《結構動力學》著作中關於阻尼的章節。）

 

【轉載】Ansys中的阻尼