RMQ演算法分析

RMQ演算法，是一個快速求區間最值的離線演算法，預先處理時間複雜度O（n*log(n)），查詢O(1)，所以是一個很快速的演算法，當然這個問題用線段樹同樣能夠解決。

問題：給出n個數ai，讓你快速查詢某個區間的的最值。

演算法分類：DP+位元運算

演算法分析：這個演算法就是基於DP和位元運算符，我們用dp【i】【j】表示從第 i 位開始，到第 i + 2^j -1 位的最大值或者最小值。

那麼我求dp【i】【j】的時候可以把它分成兩部分，第一部分從 i 到 i + 2 ^( j-1 ) - 1 ，第二部分從 i + 2 ^( j-1 )  到 i + 2^j - 1 次方，其實我們知道位元後一個是前一個的二倍，那麼可以把 i ---  i + 2^j  這個區間 通過2^(j-1) 分成相等的兩部分， 那麼轉移方程很容易就寫出來了。

轉移方程： mm [ i ] [ j ] = max ( mm [ i ] [ j - 1 ] , mm [ i + ( 1 << ( j - 1 ) ) ] [ j - 1 ] );

代碼：

void rmq_isit(bool ok){    for(int i=1;i<=n;i++)        mm[i][0]=mi[i][0]=a[i];    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)    {        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)        {            if(ok)                mm[i][j]=max(mm[i][j-1],mm[i+(1<<(j-1))][j-1]);            else                mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);        }    }}

那麼查詢的時候對於任意一個區間 l -- r ，我們同樣可以得到區間差值 len = （r - l + 1）。

那麼我們這一用小於2^k<=len，的 k 把區間分成可以交叉的兩部分l 到 l+2^（k）- 1, 到 r -(1<<k)+1 到 r 的兩部分，很easy的求解了。

查詢代碼：

int rmq(int l,int r){    int k=0;    while((1<<(k+1))<=r-l+1)        k++;    //printf("%d %d %d %d\n",l,l+(1<<k),r-(1<<k)+1,r-(1<<k)+1+(1<<k));    int ans1=max(mm[l][k],mm[r-(1<<k)+1][k]);    int ans2=min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]);    return ans1-ans2;}

順便寫一道練習題目： poj 3264  Balanced Lineup

求區間差值，那麼很簡單一個應用。