排座位&&Little Elephant And Permutation——排列dp的處理

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排列的問題，就是要把序列排個序，使之達到某種最優值或者統計方案數

dp可以解決部分排列問題。

通常的解決方案是，按照編號（優先順序）排序決策，從左至右決策兩種。

這裡主要是第一個。

 

排座位
? 有 ?? 個人坐成一排
? 對於相鄰兩個人 ??, ??
? 如果 ?? < ??，則會產生 ???? + ???? 的愉悅度
? 否則會產生 ???? + ???? 的愉悅度
? 求一個排列讓最大化愉悅度
? ?? ≤ 3000

從左至右決策，肯定就要狀壓了。

但是可以發現，我們並不關心一個i左右是誰，只關心編號和i的相對大小。

而且，這個貢獻ai,bj,ci,dj是可以獨立的。

思路就比較自然了。

我們按照編號從小到大決策。

每個點i的放置有幾種：

1.左右都比i小。

2/3.左/右比i大。

4.左右都比i大。

 

但是麻煩的是，如果直接dp可能最後形成不了一個序列。

不是一個整段。

所以，還要引入段的概念。

 

i的決策是：

1.左右都比i小，即串連之前的兩個段。

2/3.左/右比i大，另一個比i小，即串連一個段。

4.左右都比i大，即i自成一段。

每種中，i對答案的貢獻可以現場統計。

因為，我們的編號是從小到大處理的，

如果我們能夠正確串連的話，這個貢獻一定是可以算上的。

 

f[i][j]表示，處理完前編號i個，形成了j段的方案數。

 

還有一個問題是，邊界情況，沒有左/右，沒有這個貢獻。

那麼可以f[i][j][0/1][0/1]表示是否放了最左邊最右邊的。

答案:f[n][1][1][1]

 

 

Solution :

假定ai是一個1~n的數列。

對於合法的bi數列，乘上n!就是所有的ai和bi的情況了。

 

這樣，貢獻就比較好統計了。

dp[i][j][k]表示，處理bi中前i個位置，有j個是空的，貢獻是k的方案數。

看這篇題解：

 

其實還有一個題：（雖然不是dp）

有趣的家庭菜園

排座位&&Little Elephant And Permutation——排列dp的處理