線段樹講解（資料結構、C++）

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僅一張圖片轉載於http://www.cnblogs.com/shuaiwhu/archive/2012/04/22/2464583.html，自己畫太麻煩了。。。那個部落格的講解也很好，只是他用了指標的方式來定義線段樹，而我用了結構體，並且他講了線段樹的更進階的操作，若對線段樹的初級操作不理解，請繼續閱讀

線段樹作為一種十分常用的資料結構，在NOIP、NOI中廣泛的出現，所以在這裡對線段樹進行簡單的講解。

    線段樹支援對一個數列的求和、單點修改、求最值（最大、最小）、區間修改（需要lazy標記，暫不講解）。這幾種操作，時間複雜度是（logn）層級的，是一種十分優秀的資料結構。因此其獲得了廣泛的應用。

定義：顧名思義，它是一種樹形結構，但每段不是平常所學的一個點一個點的樹，而是一條一條的線段，每條線段包含著一些值，其中最主要的是起始和結束點記作 l，r 即左端點和右端點。

  那麼該如何劃分線段樹呢？我們採用二分的思想，即每次將一段取半，再進行接下來的操作，這樣綜合了操作的方便程度和時間複雜度。因為線段樹通過二分得來，所以線段樹是一顆二叉樹。這也方便了對兒子尋找。下面是線段樹的圖，有利於理解：

建樹：僅僅知道模型還是不夠的，建樹的過程是線段樹的關鍵（build(1,1,n)）從一號開始，左端是1，右端是n

位元運算 i<<1 等效於 i/2  (i<<1)|1 等效於  i/2+1  加速。。。     

inline void update(int i)更新i節點維護的值（求和，最大……） {     node[i].sum=node[i<<1].sum+node[(i<<1)|1].sum;     node[i].maxx=max(node[i<<1].maxx,node[(i<<1)|1].maxx); }inline void build(int i,int l,int r)//inline 還是加速 {       node[i].l=l;node[i].r=r;//左右端點為當前遞迴到的 l 和 r           if(l==r){//若l==r 則當前的樹節點是真正意義上的點          node[i].maxx=a[l];//最大值就是本身的值          node[i].sum=a[l];//區間的和就是本身的值         return;       }       int mid=(l+r)/2;//因為是二叉樹所以以中點為分割點        build(i<<1,l,mid);//根據二叉樹的知識，左兒子是i/2右兒子是i/2+1        build((i<<1)|1,mid+1,r);       update(i);}

數列求和：這是線段樹的一個典型演算法，其他的很多應用都是從中轉化的。

為了求和我們定義一個函數sum(int i,int l,int r) i 是開始的樹節點，我們預設為1。l 是區間的開始點，它的標號是在數列中的標號，r 是結束點其餘同 l。帖下代碼：

inline int sum(int i,int l,int r)//inline 又是加速   {                                                   if(node[i].l==l&&node[i].r==r)    return node[i].sum;//若樹節點的左右區間與尋找區間相同，返回其維護的sum    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;//確定該樹節點的中點以確定繼續尋找左兒子還是右兒子       if(r<=mid) return sum(i<<1,l,r);//若尋找區間最右端小於中點，則該區間完全包含於左兒子中     else if(l>mid) return sum((i<<1)|1,l,r);//最左端大於中點，尋找右兒子       else return sum(i<<1,l,mid)+sum((i<<1)|1,mid+1,r)      //若跨越中點，尋找左兒子 l 到 mid ,和右兒子的 mid+1 到 r 並傳回值 }

區間求最值和區間求和大致相同，自己看一下

inline int Max(int i,int l,int r){    if(node[i].l==l&&node[i].r==r)     return node[i].maxx;    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;    if(r<=mid) return Max(i<<1,l,r);      else if(l>mid) return Max((i<<1)|1,l,r);        else return max(Max(i<<1,l,mid),Max((i<<1)|1,mid+1,r));}

單點更新：和區間不同，但基本思想還是一樣的。

inline void add(int i,int k,int v)//當前計算到的點為i，把數列中的第k個元素加v{    if(node[i].l==k&&node[i].r==k){//因為更改的單點，所以左右端點均和k相等        node[i].sum+=v;        node[i].maxx+=v;        return;    }    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;    if(k<=mid) add(i<<1,k,v);//若k小於mid則k在樹節點i的左子樹中     else add((i<<1)|1,k,v);//反之    update(i);//更新}

最後貼下全部的代碼基本可以做模板了。。

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;struct tree{    int l,r,sum,maxx;};tree node[100];int n,m,a[100];inline void update(int i){    node[i].sum=node[i<<1].sum+node[(i<<1)|1].sum;    node[i].maxx=max(node[i<<1].maxx,node[(i<<1)|1].maxx);}inline void build(int i,int l,int r){    node[i].l=l;node[i].r=r;    if(l==r){      node[i].maxx=a[l];      node[i].sum=a[l];      return;    }     int mid=(l+r)/2;    build(i<<1,l,mid);    build((i<<1)|1,mid+1,r);    update(i);}inline void add(int i,int k,int v){    if(node[i].l==k&&node[i].r==k){        node[i].sum+=v;        node[i].maxx+=v;        return;    }    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;    if(k<=mid) add(i<<1,k,v);     else add((i<<1)|1,k,v);    update(i);}inline int sum(int i,int l,int r){    if(node[i].l==l&&node[i].r==r)     return node[i].sum;    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;    if(r<=mid) return sum(i<<1,l,r);     else if(l>mid) return sum((i<<1)|1,l,r);       else return sum(i<<1,l,mid)+sum((i<<1)|1,mid+1,r);}inline int Max(int i,int l,int r){    if(node[i].l==l&&node[i].r==r)     return node[i].maxx;    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;    if(r<=mid) return Max(i<<1,l,r);      else if(l>mid) return Max((i<<1)|1,l,r);        else return max(Max(i<<1,l,mid),Max((i<<1)|1,mid+1,r));}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;i++)    scanf("%d",&a[i]);    build(1,1,n);    for(int i=1;i<=m;i++){        int c,a,b;        scanf("%d%d%d",&c,&a,&b);        if(c==1) printf("%d\n",sum(1,a,b));          else if(c==2) add(1,a,b);            else if(c==3) printf("%d\n",Max(1,a,b));    }    }

線段樹講解（資料結構、C++）