Silverlight 電腦圖形學3 三維空間座標

第一：奇次座標

為什麼要引入齊次座標呢？這主要是由於以下兩方面的原因：
    首先，在物理學中, 向量用於表示力和速度等物理量， 通常用具有長度和方向的線段來表示，4.1表示。我們往往用數學符號 表示一個向量。它與空間位置無關。對於三維空間中位於(x, y, z)處的一個點P, 如果我們用一個列矩陣 來表示它, 這與向量的表示會引起混淆。
    其次，在二維或三維空間中，矩陣的乘積，例如Q＝TP，只能表示旋轉、比例和剪下等等變換，而不能表示平移變換。

   
例如, 在圖4.2中，點P繞座標原點旋轉θ角後到達P′，其座標可以用下式計算：
（4－1－1）
　　
其中
　　
。
    對於比例、反射和剪下等變換，我們都可以得到類似（4－1－1）式的矩陣運算式。但是，如果我們將物體沿直線路徑從一個座標位置平移到另一個座標位置，即通過給原始座標位置（x,y,z）加上平移距離tx、ty和tz後，使它移到新的位置(x′, y′, z′)。令P＝[x, y, z]T, Pt=[tx , ty , tz]T, P′＝[x′, y′, z′]T, 則
。 （4－1－2）
上式的右邊就不能象（4－1－1）式的右邊那樣寫成兩個矩陣相乘的形式。
    為了避免這些困難，我們用4維列矩陣來表示三維空間中的點和向量。假定用（e1, e2, e3, P0）指定三維空間座標系的架構，其中，e1, e2和e3是座標軸向量，P0是座標原點。則空間中的任何一個點P都可以在該座標系架構下唯一地寫成
。

我們可以用矩陣乘積的形式把上式改寫成
。
嚴格地講，上式並不是一個點積或內積，因為其矩陣的元素是不同的。上式右邊的4維行矩陣就是P點在給定的座標系架構下的齊次座標表示。或者等價地說，P點的齊次座標可以用4維列矩陣表示為
。
在同一個座標系架構下，任何向量V都可以寫成

，
於是，V能夠用列矩陣表示為 。
應當指出，這個式子幾何上有不同的解釋，我們在後面還會介紹。

 
仿射變換

仿射變換是電腦圖形學中最常用的變換。下列形式的座標變換稱為三維仿射變換：
左（4－2－1）
即：Q的座標是P的座標的線性組合。它可以用齊次座標來表示：
左（4－2－2）
    仿射變換將向量變換成為向量。如上一節所述，如果空間向量V的座標是Vx, Vy和Vz，它的座標架構表示（即齊次座標表示）是一個第4個分量為0的列向量。它的仿射變換為：
左（4－2－3）
　　可見，向量V被變換成為另外一個向量：它的齊次座標的第4個分量也是0。
（4―2―1）
，

，
。

（4―2―2）
。

（4―2―3）
。

三維幾何變換

利用齊次座標和仿射變換，可以實現所有的三維幾何變換。任何複雜的幾何變換都可以分解成為比例、剪下、反射、旋轉和平移等等簡單變換的組合。 4.3.1 比例     在作比例和旋轉變換時，都應當指定一個參考點。在此，我們先假定參考點是原點，在4.3.6節中我們將介紹繞任意點的平移和旋轉變換。

比例變換是對物體按某種比例進行放大或縮小的一種幾何變換。以座標原點為參考點,沿x、y和z座標軸分別獨立地縮放αx 、αy 和αz 倍的比例變換可以用齊次座標表示如下（見圖4.3）：
P′＝SP
其中，P和P′分別是用齊次座標表示的變換前和變換後的點，P＝[x y z 1]T, P′＝[x′ y′ z′ 1]T; S是比例變換矩陣，
（4－3－1）
。
　圖4.3 比例變換

其逆變換的變換矩陣
（4－3－2）
。
    對於任何一個三維幾何變換，一旦知道了它的變換矩陣（如S），這個變換就唯一確定了。所以，下面我們重點介紹其它幾何變換的變換矩陣。