單源最短路徑（Dijkstra）——貪心演算法

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    Dijkstra演算法是解單源最短路徑問題的貪心演算法。其基本思想是，設定頂點集合點集合S並不斷地做貪心選擇來擴充這個集合。一個頂點屬於集合S若且唯若從源到該頂點的最短路徑長度已知。初始時，S中僅含有源。設u是G的其一頂點。把從源到u且中間只經過S中頂點的路稱為從源到u的特殊路徑，並用數組Distance記錄當前每個頂點所對應的最短特殊路徑長度。Dijkstra演算法每次從V-S中取出具有最短特殊路長度的頂占，Distance就記錄了從源到所有其它頂點之間最短路徑長度。
    例如中的有向圖，應用Dijkstra演算法計算從源頂點1到其它頂點最短路徑的過程列表在下表中。

演算法流程說明：
    表格中預設選取的起始頂點為1頂點，所以本問題就轉化為求解1頂點到2, 3, 4, 5這幾個頂點的最短路徑。首先初始條件列出1頂點到2, 3, 4, 5各個頂點的距離，這個距離直接在圖的儲存鄰接矩陣中得到，選取距離最近的一個也就是2頂點加入集合S，下面要進行的是比較關鍵的一步，這個時候應該去擷取3, 4, 5三個頂點到集合S的最短距離(從1頂點出發，可以經過S中的任意頂點)：將1到2頂點的距離加上2到各個點的距離，然後用這個距離來同1到各個頂點的距離相比較，誰小就取誰，以此類推，然後每次取Distance[]最小的值進入集合S。
    這樣下去，Distance[]中存放的就是每個頂點到集合S的最短距離，比如當前的集合只有1, 2，按照規則頂點4應該入選進集合S，因為Distance[3]沒有入選集合的頂點中對應的Distance[]最小的頂點。現在需要計算3和5到新集合S={1, 2, 4}的最短距離，這個時候就只需要將Distance[2]和Distance[4]中的值（現在這裡面的值表示集合S={1, 2}到頂點3和5頂點的最短距離），但是現在集合中加入了頂點4，怎麼計算？計算方法如下：
Distance[3] + 鄰接矩陣中頂點4到頂點3的距離 < Distance[2] ?
Distance[3]：(頂點4到S={1, 2}的最短距離)
Distance[2]: (頂點3到S={1, 2}的最短距離)
如果這個小於成立，那麼很明顯新的集合到頂點3的最小距離應該是先從S={1, 2}到頂點4的最短距離，然後再從頂點4到頂點3。

由於每一次的比較都是在上一次集合的最優結果中計算的，所以新計算出來的頂點3到集合S={1, 2, 4}的最短距離也是全域最優的。

對應的C語言代碼如下：

#include <stdio.h>#define M65535 //無窮大#define N5 //頂點數//Dijkstra演算法函數，求給定頂點到其餘各點的最短路徑//參數：鄰接矩陣、出發點的下標、結果數組、路徑前一點記錄void Dijkstra(int Cost[][N], int v0, int Distance[], int prev[]){    int s[N];    int mindis,dis;    int i, j, u;    //初始化    for(i=0; i<N; i++)    {        Distance[i] = Cost[v0][i];        s[i] = 0;        if(Distance[i] == M)prev[i] = -1;        elseprev[i] = v0;    }    Distance[v0] = 0;    s[v0] = 1; //標記v0    //在當前還未找到最短路徑的頂點中，    //尋找具有最短距離的頂點    for(i=1; i < N; i++)    {//每迴圈一次，求得一個最短路徑        mindis = M;        u = v0;        for (j=0; j < N; j++) //求離出發點最近的頂點if(s[j]==0 && Distance[j]<mindis){mindis = Distance [j];u = j;} // if語句體結束，j迴圈結束        s[u] = 1;        for(j=0; j<N; j++) //修改遞增路徑序列（集合）        if(s[j]==0 && Cost[u][j]<M)        { //對還未求得最短路徑的頂點            //求出由最近的頂點 直達各頂點的距離            dis = Distance[u] +Cost[u][j];            // 如果新的路徑更短，就替換掉原路徑            if(Distance[j] > dis)            {                Distance[j] = dis;                prev[j] = u;            }        } // if 語句體結束，j迴圈結束    } // i迴圈結束}// 輸出最短路徑// 參數：路徑前一點記錄、出發點的下標、到達點下標void PrintPrev(int prev[],int v0,int vn){    int tmp = vn;    int i, j;    //臨時存路徑    int tmpprv[N];    //初始化數組    for(i=0; i < N; i++)tmpprv[i] = 0;    //記錄到達點下標    tmpprv[0] = vn+1;    //中間點用迴圈記錄    for(i =0, j=1; j < N ;j++)    {        if(prev[tmp]!=-1 && tmp!=0)        {            tmpprv[i] = prev[tmp]+1;            tmp = prev[tmp];            i++;        }        else break;    }    //輸出路徑，數組逆向輸出    for(i=N-1; i >= 0; i--)    {        if(tmpprv[i] != 0)        { //排除0元素            printf("V%d", tmpprv[i]);            if(i)  //不是最後一個輸出符號                 printf("-->");        }    }printf("-->V%d", vn+1);}//主函數int main(){    //給出有向網的頂點數組    char *Vertex[N]={"V1", "V2", "V3", "V4", "V5"};    //給出有向網的鄰接矩陣    int Cost[N][N]={{0, 10, M, 30, 100},        {M, 0, 50, M, M},        {M, M, 0, M, 10},        {M, M, 20, 0, 60},        {M, M, M, M, 0},    };    int Distance[N]; //存放求得的最短路徑長度    int prev[N];  //存放求得的最短路徑int i;    //調用Dijkstra演算法函數，求頂點V1到其餘各點的最短路徑    //參數：鄰接矩陣、頂點數、出發點的下標、 結果數組    Dijkstra(Cost, 0, Distance, prev);    for(i=0; i < N; i++)    {        //輸出最短路徑長度        printf("%s-->%s:%d\t", Vertex[0], Vertex[i], Distance[i]);        //輸出最短路徑        PrintPrev(prev, 0, i);        printf("\n");    }    return 0;}

程式運行結果：

參考文章：http://zengwu3915.blog.163.com/blog/static/278348972009109101834282/