頻譜、能譜、功率譜、倍頻程譜、1/3 倍頻程譜

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在做聲學訊號處理時經常會遇到下面幾個概念：能譜、功率譜、倍頻程譜、1/3 倍頻程譜。這些概念有區別也有聯絡。大家談論問題時經常將其中一些概念混用。最近有點時間，我將這幾種術語做一個梳理，記錄在這裡。其中，準確的說明功率譜密度的概念需要用到一點平穩隨機過程的知識，考慮到多數人對隨機過程不太瞭解，我這裡盡量只用最簡單的傅立葉分析的基本概念來說明，這樣雖然不太嚴謹，但是對於我們平常的應用來說也夠用了。

時域訊號可以表示為時間t的函數x(t)。如果這個訊號滿足絕對可積條件，即要求：

那麼這個訊號就有傅立葉變換：

其中X(f)稱為訊號的頻率譜密度，簡稱頻譜(spectrum)。|X(f)| 稱為振幅譜（amplitude spectrum），argX(f) 稱為相位譜（phase spectrum）。

訊號的能量定義為：

對於能量無限的訊號我們可以計算其平均功率：

對於能量無限但是平均功率有限的訊號，我們稱之為功率訊號。由帕塞瓦爾(Parseval)等式可知有如下等式：

其中第一項我們通常稱為訊號的能量，因此 |X(f)|2 就被稱為訊號的能量譜密度，簡稱能譜(Energy spectrum)。

對於功率訊號：

這時我們稱：

為訊號的功率譜密度（power spectral density, PSD），或者譜功率分布（spectral power distribution, SPD），簡稱功率譜(power spectrum)。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特數（W/Hz）表示。

訊號的功率譜密度也訊號自相關函數的傅裡葉變換。只有若且唯若訊號是廣義的平穩過程的時候功率譜密度才存在。如果訊號不是平穩過程，那麼自相關函數一定是兩個變數的函數，這樣就不存在功率譜密度，但是可以使用類似的技術估計時變譜密度。我們看到求取功率譜密度時有個取極限的過程。實際計算時通常是取有限的一段時間。並對訊號採樣。設採集頻率為 fs，採樣時間間隔為Δ。那麼離散訊號x[n] 與連續訊號 x(t) 的關係如下：

這時的平均功率為：

離散傅立葉變換運算式如下：

這裡Xm對應的頻率為：

由帕塞瓦爾(Parseval)等式可知有如下等式：

因此，功率譜密度的估計式如下：

這裡計算功率譜密度時除以fs/N 是因為，每個Xm 實際上是fs/N 頻寬內的功率。

 

倍頻程功率譜

在音頻分析領域，經常要分析音頻訊號的頻譜，這時最常用的是倍頻程功率譜和1/3倍頻程功率譜。所謂倍頻程功率譜，是將音頻分為一個個的頻段，然後分別計算每個頻段內的功率譜。相鄰頻段的寬度為二比一的關係。1/3倍頻程是將倍頻程再細分為三段。下表給出了IEC推薦的頻段劃分方法。

Band number	Octave band center frequency	One-third octave band center frequency	Band limits Lower	Upper
14	31.5	25	22	28
15		31.5	28	35
16		40	35	44
17	63	50	44	57
18		63	57	71
19		80	71	88
20	125	100	88	113
21		125	113	141
22		160	141	176
23	250	200	176	225
24		250	225	283
25		315	283	353
26	500	400	353	440
27		500	440	565
28		630	565	707
29	1000	800	707	880
30		1000	880	1130
31		1250	1130	1414
32	2000	1600	1414	1760
33		2000	1760	2250
34		2500	2250	2825
35	4000	3150	2825	3530
36		4000	3530	4400
37		5000	4400	5650
38	8000	6300	5650	7070
39		8000	7070	8800
40		10000	8800	11300
41	1600	12500	11300	14140
42		16000	14140	17600
43		20000	17600	22500

由於每個頻段的寬度是不同的，所以畫出的倍頻程頻譜與普通的功率譜的圖形有很大的差異。之所以有倍頻程功率譜，是有其曆史原因的。在數字訊號處理技術普及以前，人們是通過設計一系列的濾波器並測量濾波器輸出的功率來確定其頻譜的。無法將頻段分的很細，因此人們就按照倍頻程來設計濾波器（按照倍頻程來設計的濾波器的Q值是相同的，因此可以用同一類型，不同參數的濾波器組來實現）。

 

但是，利用DFT技術，是可以計算出倍頻程功率譜的。方法很簡單，只要將一個倍頻程內的DFT 計算出的各個子頻段的功率疊加就可以了。為了計算結果準確，至少要保證每個倍頻程內有3到4條譜線。我們知道，頻率越低的倍頻程，頻寬越窄，因此只要能保證最低的那個倍頻程能滿足這個條件，其他的倍頻程肯定也能滿足的。1/3倍頻程的計算方式也類似。

不過，這樣計算出的倍頻程功率譜與用濾波器組獲得的倍頻程功率譜是有一些差別的。原因在於濾波器組的截止特性沒有DFT的結果好。除此之外，訊號在進入濾波器組之前還會先進一個預濾波器，也就是對訊號做加權，通常有所謂的A加權、B加權和C加權。具體的，可以參考 IEC 60651 “Standard for Sound Level Meters”，上面寫的很清楚。

頻譜、能譜、功率譜、倍頻程譜、1/3 倍頻程譜