SRM489 Div1 1000pts：AppleTree

標籤：定義   line   根據   個數   它的   冗餘   問題   max   一個   

挺優秀的一道題，想出做法時感覺很驚豔。

題意：

數軸上有\(D\)個連續整數刻度，有\(N\)棵樹要種在這些刻度上，其中第\(i\)棵與兩旁（如果有的話）相鄰的樹至少要相距\(R_i\)，問方法數。

\(1 \leq N , R_i \leq 40\)

思路：

首先，如果確定了種樹的順序，就確定了相鄰樹的最小間距。把\(D\)減掉最小間距之和，所得的就是“冗餘刻度”的數量。

把這個數量分配給\(N+1\)段間隙，用插板法可以求出方法數。

所以問題在於，對於每一個\(L\)，求出1到\(N\)的排列\(P\)的數量，滿足：

\[\sum_{i=1}^{N-1} \mathrm{max}(R_i, R_{i+1})=L\]

注意到，對於使\(R_i\)最大的\(i\)，它的兩側種的是什麼樹，不影響這兩段間隙的最小長度。

根據套路，這個時候我們應該在\(i\)的位置把排列割開並分別處理。

對於一個1到\(N\)的子集的長度為\(l\)的排列\(P\)，定義其代價為：\(\sum_{i=1}^{l-1} \mathrm{max}(R_i, R_{i+1})\)。

於是想到DP狀態：\(dp[i][j][k]\)表示，1到\(i\)這\(i\)個數，組成了\(j\)個不相交排列，排列的代價總和為\(k\)的方法數。

轉移時考慮第\(i\)個數在一個排列的兩端還是中間，刪除之並轉移即可。

注意到\(i,j \leq 40\)，\(k \leq 1600\)，故複雜度沒有問題。

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